Здравствуйте!
Помогите, пожалуйста, решить задачку.

Выкладываю свои потуги в решении задачи.
Для

я решил уравнение

в общем виде, получил:

, где

,

- произвольные функции.
Подставив начальные условия, получил, что

.
Т.к. функция

у нас неотрицательная, то при росте

функция

будет расти (свойства интеграла - увеличивается отрезок интегрирования).
Напомню, что функция определена при

- таким образом, функция

монотонна относительно t и неотрицательна.
Предположим теперь, что на каком-то связном множестве

из

функция

принимает нулевые значения и только на нем.
В

это отрезки, полуотрезки, интервалы и лучи.
Для начала рассмотрим луч

.
Т.к. функция

неотрицательная, то

, как интеграл от функции

, будет равен нулю тогда и только тогда, когда

. Это множество будет выглядеть так:

А это, очевидно, связное множество.
Если множество

ограничено, возьмем

. Тогда интеграл равен нулю, если

.
Это множество тоже связно:

.
Так что, если множество

связно, то и множество

также связно.
Для

утверждение верно. Что делать для

, я не знаю.
Вообще говоря, написано, что задача качественного характера. Т.е., как я понял, она задумана так, что для ее решения не нужно выписывать решение уравнения в явном виде - как это сделал я. Да и я, честно говоря, не знаю, как решать многомерное волновое уравнение.
Рядов Фурье тут не должно быть, хотя их использование не запрещается.
Помогите, пожалуйста.