Волновое уравнение

[Gorthad]

Здравствуйте!
Помогите, пожалуйста, решить задачку.



Выкладываю свои потуги в решении задачи.

Для $n=1$ я решил уравнение $u_{tt}=u_{xx}$ в общем виде, получил:
$u(x,t) = f(x-t)+g(x+t)$, где $f$, $g$ - произвольные функции.
Подставив начальные условия, получил, что $u(x,t)=\int_{x-t}^{x+t}{ \psi (\xi) d \xi}$.
Т.к. функция $\psi$ у нас неотрицательная, то при росте $t$ функция $u(t,x)$ будет расти (свойства интеграла - увеличивается отрезок интегрирования).
Напомню, что функция определена при $t>0$ - таким образом, функция $u(t,x)$ монотонна относительно t и неотрицательна.

Предположим теперь, что на каком-то связном множестве $A$ из $\mathbb{R}$ функция $\psi$ принимает нулевые значения и только на нем.
В $\mathbb{R}$ это отрезки, полуотрезки, интервалы и лучи.
Для начала рассмотрим луч $(a, +\mathcal{1})$.
Т.к. функция $\psi$ неотрицательная, то $u(t,x)$, как интеграл от функции $\psi$, будет равен нулю тогда и только тогда, когда $x-t \geqslant a$. Это множество будет выглядеть так:


А это, очевидно, связное множество.
Если множество $A$ ограничено, возьмем $a = \inf_{x \in A} x, b = \sup_{x \in A} x$. Тогда интеграл равен нулю, если $x-t \geqslant a, x+t \leqslant b$.
Это множество тоже связно:
.

Так что, если множество $\{x \in \mathbb{R}\:|\:\psi(x) = 0 \}$ связно, то и множество $\{(x,t) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}_+ \:|\:u(t,x) = 0 \}$ также связно.

Для $n=1$ утверждение верно. Что делать для $n=2, 3$, я не знаю.
Вообще говоря, написано, что задача качественного характера. Т.е., как я понял, она задумана так, что для ее решения не нужно выписывать решение уравнения в явном виде - как это сделал я. Да и я, честно говоря, не знаю, как решать многомерное волновое уравнение.
Рядов Фурье тут не должно быть, хотя их использование не запрещается.

Помогите, пожалуйста.

[Gorthad]

Bump