Сюръективные и инъективные отображения

[Artur-1987]

Никак не получается решить две простенькие задачки (я по образованию физик).
Показать что отображение $f:X\to Y$
а) сюръективно, если и только если для любого множества $B\subset Y$ справедливо $f\left( f^{-1}\left( B\right) \right)=B$;
b) инъективно, если и только если для любого множества $A\subset X$ справедливо $f^{-1}\left( f\left( A\right) \right)=A$.
Я размышлял так. Отображение $f$ сюръективно, т.е. $Y=f\left( X\right)$, тогда из того, что $y\in Y$ следует, что $x\in f^{-1}\left( A\right)$, значит $y\in f\left( f^{-1}\left( A\right) \right)$,но далее никак... И то, сомневаюсь что данное рассуждение верно.

[svv]

А Вы можете показать, что вообще при любом отображении
$f^{-1}\left( f\left( A\right) \right)\supseteq A$ ,
$f\left( f^{-1}\left( B\right) \right)\subseteq B$ ?
Не знаю, пригодятся ли Вам эти свойства, но, по-моему, их понимание свидетельствует о том, что человек "въехал" в тему.

[мат-ламер]

Для доказательства обоих предложений в одну из сторон можно множества A и B заменить произвольной точкой.

-- Пн дек 26, 2011 18:03:46 --

А для доказательства в другую сторону можно в качестве тех же множеств выбрать Y и X.

-- Пн дек 26, 2011 18:16:36 --

Написал ерунду. Это только для доказательства в одну сторону - "если".

[Artur-1987]

А если так: в начале запишу известную лемму, которая гласит $g\circ f=e_X\Rightarrow g$ - сюръективно, а $f$ - инъективно.
a) Необходимость: отображение сюръективно, значит $Y=f\left( X\right)$, тогда $B=f\left( B'\right)$ ($B'\subset X$), где прообраз $B'=f^{-1}\left( B\right)$ и значит $B=f\left( f^{-1}\left( B\right)\right)$.
Достаточность: воспользовавшись леммой для нашего равенства получаю, что отображение $f$ сюръективно.
b) Необходимость: отображение инъективно, значит $A'=f\left( A\right)$ ($A'\subset Y$), где прообраз $A=f^{-1}\left( A'\right)=f^{-1}\left( f\left( A\right)\right)$.
Достаточность: из той же леммы следует, что отображение $f$ инъективно. Надюсь все верно (я неуверен в использовании леммы, так как она относится к отображениям, а я работаю с образами и прообразами)?