2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Провокационное предложение по поводу формы Жордана
Сообщение25.12.2011, 18:03 


10/02/11
6786
а не приводить ли матрицу $A$ к нормальной форме Жордана через решение системы $\dot x=Ax$? :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Провокационное предложение по поводу формы Жордана
Сообщение26.12.2011, 11:12 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Два встречных вопроса.

1). А как, если ДУ идут существенно позже, чем ЛА?...

2). А как, если общие свойства решений линейных систем следуют именно из жордановай формы -- и ниоткуда больше, в общем-то, естественным образом не следуют?...

 Профиль  
                  
 
 Re: Провокационное предложение по поводу формы Жордана
Сообщение26.12.2011, 14:10 


10/02/11
6786
ewert в сообщении #519994 писал(а):
А как, если ДУ идут существенно позже, чем ЛА?...

это не самый существенный вопрос, линейное скалярное ДУ может решить любой, кто умеет дифференцировать и знает, что такое $e^z$. Это все начала матана.
ewert в сообщении #519994 писал(а):
А как, если общие свойства решений линейных систем следуют именно из жордановай формы -- и ниоткуда больше, в общем-то, естественным образом не следуют?...

Это неправильно. Система вида $\dot x=Ax$ последовательными дифференцированиями и подстановками всегда разваливается в несколько независимых скалярных систем (которые решаются с помощью характеристического многочлена). Откуда получается Жорданова форма. Так, что тут двужение в обе стороны. И это гораздо проще и нагляднее ИМХО чем алгебраическое доказательство теоремы Жордана.
Я, конечно, понимаю, что говорю крамолу и так читать курс линейки никто никогда не будет. :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Провокационное предложение по поводу формы Жордана
Сообщение26.12.2011, 14:24 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Oleg Zubelevich в сообщении #520045 писал(а):
линейное скалярное ДУ может решить любой, кто умеет дифференцировать и знает, что такое $e^z$. Это все начала матана.

Не так быстро. В случае кратных корней -- это всё-таки некоторая морока (не очень длинная, но всё-таки морока).

Oleg Zubelevich в сообщении #520045 писал(а):
Система вида $\dot x=Ax$ последовательными дифференцированиями и подстановками всегда разваливается в несколько независимых скалярных систем (которые решаются с помощью характеристического многочлена).

Не верю. Дело в том, что скалярное уравнение, в свою очередь, сводится к системе с матрицей весьма специфического вида -- у которой каждое собственное число представлено ровно одной жордановой клеткой. А как можно заранее определить размеры жордановых клеток исходной матрицы, ничего ещё не зная про сами собственные числа (учитывая, что их нахождение в явном виде, т.е. за конечное число операций, невозможно)?...

 Профиль  
                  
 
 Re: Провокационное предложение по поводу формы Жордана
Сообщение26.12.2011, 14:49 


10/02/11
6786
ewert в сообщении #520051 писал(а):
Не верю.

напрасно, наблюдение банальное, иногда отмечается в учебниках.
ewert в сообщении #520051 писал(а):
А как можно заранее определить размеры жордановых клеток исходной матрицы, ничего ещё не зная про сами собственные числа

а я разве так ставил вопрос?

-- Пн дек 26, 2011 14:54:02 --

ewert в сообщении #520051 писал(а):
скалярное уравнение, в свою очередь, сводится к системе с матрицей весьма специфического вида -- у которой каждое собственное число представлено ровно одной жордановой клеткой.

вот вот это дает другой канонический вид матрицы, забыл как он называется

 Профиль  
                  
 
 Re: Провокационное предложение по поводу формы Жордана
Сообщение28.12.2011, 12:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
3156
Уфа
Жорданова форма вполне естественно возникает при попытке быстрого вычисления $A^n$. До разностных уравнений рукой подать. Но предельный переход выглядит как шаг в сторону, имхо.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group