Провокационное предложение по поводу формы Жордана

[Oleg Zubelevich]

а не приводить ли матрицу $A$ к нормальной форме Жордана через решение системы $\dot x=Ax$?

[ewert]

Два встречных вопроса.

1). А как, если ДУ идут существенно позже, чем ЛА?...

2). А как, если общие свойства решений линейных систем следуют именно из жордановай формы -- и ниоткуда больше, в общем-то, естественным образом не следуют?...

[Oleg Zubelevich]

ewert в сообщении #519994 писал(а):

А как, если ДУ идут существенно позже, чем ЛА?...

это не самый существенный вопрос, линейное скалярное ДУ может решить любой, кто умеет дифференцировать и знает, что такое $e^z$. Это все начала матана.

ewert в сообщении #519994 писал(а):

А как, если общие свойства решений линейных систем следуют именно из жордановай формы -- и ниоткуда больше, в общем-то, естественным образом не следуют?...

Это неправильно. Система вида $\dot x=Ax$ последовательными дифференцированиями и подстановками всегда разваливается в несколько независимых скалярных систем (которые решаются с помощью характеристического многочлена). Откуда получается Жорданова форма. Так, что тут двужение в обе стороны. И это гораздо проще и нагляднее ИМХО чем алгебраическое доказательство теоремы Жордана.
Я, конечно, понимаю, что говорю крамолу и так читать курс линейки никто никогда не будет.

[ewert]

Oleg Zubelevich в сообщении #520045 писал(а):

линейное скалярное ДУ может решить любой, кто умеет дифференцировать и знает, что такое $e^z$. Это все начала матана.

Не так быстро. В случае кратных корней -- это всё-таки некоторая морока (не очень длинная, но всё-таки морока).

Oleg Zubelevich в сообщении #520045 писал(а):

Система вида $\dot x=Ax$ последовательными дифференцированиями и подстановками всегда разваливается в несколько независимых скалярных систем (которые решаются с помощью характеристического многочлена).

Не верю. Дело в том, что скалярное уравнение, в свою очередь, сводится к системе с матрицей весьма специфического вида -- у которой каждое собственное число представлено ровно одной жордановой клеткой. А как можно заранее определить размеры жордановых клеток исходной матрицы, ничего ещё не зная про сами собственные числа (учитывая, что их нахождение в явном виде, т.е. за конечное число операций, невозможно)?...

[Oleg Zubelevich]

ewert в сообщении #520051 писал(а):

Не верю.

напрасно, наблюдение банальное, иногда отмечается в учебниках.

ewert в сообщении #520051 писал(а):

А как можно заранее определить размеры жордановых клеток исходной матрицы, ничего ещё не зная про сами собственные числа

а я разве так ставил вопрос?

-- Пн дек 26, 2011 14:54:02 --

ewert в сообщении #520051 писал(а):

скалярное уравнение, в свою очередь, сводится к системе с матрицей весьма специфического вида -- у которой каждое собственное число представлено ровно одной жордановой клеткой.

вот вот это дает другой канонический вид матрицы, забыл как он называется

[worm2]

Жорданова форма вполне естественно возникает при попытке быстрого вычисления $A^n$. До разностных уравнений рукой подать. Но предельный переход выглядит как шаг в сторону, имхо.