R-модуль

[Unconnected]

Так и откуда $p(f,x)=f(x)$, $f \in End$, $x \in M$. ? Элементы из кольца можно рассматривать как модуль своих эндоморфизмов.. тогда в отображении (которое в определении модуля) должно быть эндоморфизм X эндоморфизм -> эндоморфизм, а тут $X \in M$ приплетён, он же просто число возможно..

Кстати, этого Вардена если сначала читать и внимательно, то довольно понятно)

[Joker_vD]

Тьфу. Я въехал. Абелеву группу $M$ пытаются превратить в $\mathrm{End}(M)$-модуль. Для этого надо ввести умножение эндоморфизма на элемент из $M$ (т.е. отображение $\mu\colon \mathrm{End(M)}\times M\to M$, чтобы выполнялись четыре условия ($f,g\in \mathrm{End}(M)$, $x,y\in M$):

1) $\mu(f,x+y)=\mu(f,x)+\mu(f,y)$,
2) $\mu(f+g,x)=\mu(f,x)+\mu(g,x)$,
3) $\mu(fg,x)=\mu(f, \mu(g,x))$,
4) $\mu(\mathrm{id}_M,x)=x$.

Так вот, если в качестве такого $\mu$ взять ваше $p$, то все четыре аксиомы выполнятся и $M$ превратится в модуль над кольцом своих (т.е. группы $M$) эндоморфизмов.

[Unconnected]

Да, видимо так и есть.. В определении модуля 8 аксиом, первые 4 показывают что он абелева группа (а тут это уже дано), и проверяем ещё 4.. спасибо)

[Unconnected]

Рассмотрим отображение $g: R \to End(M,+)$.
$x \in M$, $r \in R$, если $(g(r))(x)=p(r,x)$, то $g$ - унитальный гомоморфизм колец (p - умножение, отображение $R\times M \to M$, т.е. для модуля.

Так вот, как это доказать? Надо проверять два условия, типа $a+b=g(a)+g(b) $ и $a\cdot b=(g(a))(b)$? Может, из верности второго условия вытекает верность первого? И раз в R есть единица, значит гомоморфизм будет унитальным автоматически (если гомоморфизм вообще выполняется). Что-то даже не соображу, как два условия гомоморфизма колец проверить тут..

Который раз замечаю - просто переписал всё на форум, и стало на 80% понятнее O_o ))

[Unconnected]

И ещё, тут написано что подмодулем называется подмножество модуля, для которого выполняются две аксиомы (N - подмодуль):
1) $a,b \in N, \to a+b \in N$
2) $r \in R, \to r\cdot a \in N$

Насчёт второй понятно, а вот первая.. подмодуль ведь должен образовывать подгруппу аддитивной группы модуля? Значит, нужна хотя бы ещё аксиома о том, что в N должны быть обратные элементы..

[kribesk]

Докажем, что $g$ - унитальный гомоморфизм. Пусть $m$ из модуля $M$ над $End(M)$, $r$ - бинарная операция умножения. Тогда для $g(a) + g(b): (g(a))(m) + (g(b))(m) = r(a, m) + r(b, m)$. Далее по аксиоме (6?) сложим коэффициенты: $r(a + b, m) = (g(a + b))(m)$. Аналогично из аксиом (7, 8?) доказываем устойчивость к умножению и унитальность.

Наличие нулевого и обратного элемента в подмодуле доказать еще проще. Пусть $n$ элемент $N$ подмодуля $M$ над $R$. Очевидно $n$ принадлежит также и $M$. Домножив его на нулевой элемент $R$ по последней аксиоме из определения модуля получим нулевой элемент модуля. Домножив его на элемент, обратый к $1$, получим $-n$. Это легко проверить: $n + (-1)n = (1)n + (-1)n = (1-1)n = 0n = 0$.

[Unconnected]

Да, про обратный понял, если кольцо с единицей, то вытекает прямо из двух этих аксиом (и нулевой искать не надо, по первой аксиоме).

Что касается гомоморфизмов.. откуда взялась правая часть $r(a + b, m) = (g(a + b))(m)$ ?

Тут ещё описывается кольцо $R^{f}$, где вместо обычного умножения $a \cdot b$ введено $b\cdot a$. И дальше вообще загадочная вещь: задать структуру правого R-модуля, это то же самое, что задать унитальный гомоморфизм колец $R \to End(M)^{f}$. Было бы понятно, если бы не "перевернутый" индекс над кольцом эндоморфизмов, к чему он тут? Я было подумал, что для композиции сделано, мол, в другом порядке, но тут ведь она и не используется! Или я не так понимаю смысл вообще, задания структуры R-модуля таким образом.. Т.е. задали эндоморфизм, подставляем число из модуля, на выходе тоже число из него. С какой стороны подставлять тут ведь разницы нет..

[kribesk]

Про нулевой по аксиоме - это я перепутал. Но доказывается так же, как и про обратный.

Unconnected в сообщении #522016 писал(а):

$(g(r))(x)=p(r,x)$

Вот отсюда этот переход. Только вместо $r$ я написал $a + b$, а вместо $x$ — $m$. И прошел в обратную сторону (аксиома рефлексивности равенства же).

Это хитрая структура действует, когда базовое кольцо не коммутативно по умножению. Кольцо, противоположное к данному кольцу $(R, +, \cdot)$ — это кольцо $(R, +, \cdot'): x\cdot'y = y\cdot x$. Это то самое кольцо с верхним индексом в ваших обозначениях. Далее, задание левого модуля эквивалентно заданию унитального эндоморфизма $R \to End (M) : (g(a))(m) = r(a, m)$ (только что доказано). Утверждается, что задание соответствующего правого модуля эквивалентно заданию эндоморфизма $R \to End (M') : (g(a))(m) = r'(a, m)$. То есть левый $R$-модуль $=$ правый $R'$-модуль.

[Unconnected]

Блин, понял где меня клинит. Вот что такое унитальный гомоморфизм колец конкретно для R и End(M) ? В определении гомоморфизма написано g(a)+g(b)=g(a+b), а тут ведь разнородные элементы, там числа, там отображения..

[Unconnected]

Аа всё.. осилил, kribesk, спасибо! :)

[lofar]

По модулям очень советую книгу Ф. Каша Модули и кольца. Она ведет читателя от основ и до довольно глубоких результатов.

На вопрос: "Зачем нужны модули?" можно ответить так. Модули -- обобщают широкий класс разнородных, на первый взгляд, понятий. Абелевы группы -- это в точности модули над кольцом $\mathbb Z$. Векторные пространства -- это модули над телами. Представления группы $G$ над полем $k$ -- это модули над групповой алгеброй $kG$. Многие частные факты и свойства обобщаются на уровень модулей, скажем тот факт, что всякая делимая подгруппа выделяется прямым слагаемым в абелевой группе переносится и на модули: всякий инъективный подмодуль выделяется прямым слагаемым. Кроме того, оказывается, что такие абстрактные конструкции, как абелевы категории в определенном смысле сводятся к категориям модулей. Модули -- это одни из ключевых персонажей современной алгебры, мода на них не пока прошла, другого общего языка в этой области пока не паридумали.

[Unconnected]

Ну мне пока надо с линейными пространствами понять.. Тут написано, что модуль над полем является линейным (векторным) пространством. То есть, если модуль состоит из чисел, то каждое число и есть вектор? Или это координаты какие-то?

[Sonic86]

Unconnected в сообщении #522752 писал(а):

Ну мне пока надо с линейными пространствами понять.. Тут написано, что модуль над полем является линейным (векторным) пространством. То есть, если модуль состоит из чисел, то каждое число и есть вектор? Или это координаты какие-то?

Unconnected, такое ощущение, что Вы модулей просто не видели
$M = \{ (x,y,z): x,y,z \in \mathbb{Z}\}$ - это например модуль над $\mathbb{Z}$, он конечномерный, размерности 3. Или например $M = \{ (x,y,z): x \in \mathbb{Z}_3, y \in \mathbb{Z}_5, z \in \mathbb{Z}_7\}$. Любой модуль, грубо говоря - это модуль над собой и над $\mathbb{Z}$. В конечномерных модулях у каждого элемента есть координаты, только они берутся не из поля, а из кольца. Если кольцо является полем, то действительно получаем обычное векторное пространство.

Unconnected в сообщении #522752 писал(а):

То есть, если модуль состоит из чисел

Из каких? Чисел вообще не бывает.

[kribesk]

Sonic86 в сообщении #522793 писал(а):

Чисел вообще не бывает.

Опасно. Числа — элементы определенных множеств. Также, как векторы — элементы векторных пространств. Числа бывают, но определяются они после определения соответствующих колец/полей.

Что касается векторных пространств — это просто частный случай модулей, когда базовое кольцо (ассоциативное и с 1) оказывается полем. У векторных пространств наследуются все свойства модулей + доказываются некоторые дополнительные свойства.

[Sonic86]

(Оффтоп)

kribesk в сообщении #522832 писал(а):

Опасно. Числа — элементы определенных множеств.

Хотя это здесь не принципиально, но все-таки нет такого определения. Или попробуйте определите - а я хоть просвещусь.