Найти плотность распределения суммы двух случайных величин

[Kirillko93]

Найти плотность распределения суммы двух независимых случайных величин: $\(\xi\) $, распределенной равномерноа отрезке$[a,b]$ и $\(\eta\)$ распр. равномерно на отрезке $[c,d]$, где $a<b, c<d, b-a\leq d-c$

вопрос,
1)правильно ли я посчитал? если да, то какие мне подставить значения у кси, чтобы получить конечный ответ. и последнее,
2)как доказать, что это деййствительно плотность?
мое решение:
Случайная величина $\(\xi\) $имеет распределение на $[a, b]$. Это означает, что плотность распределения имеет вид:

$$f(\xi) = 1/(b - a), (a \leq \xi \leq b) $$

В другом варианте будет 0.
Случайная величина $\(\eta\)$ имеет равномерное распределение на отрезке $[c;d]$. Это означает, что плотность распределения имеет вид:

$$g(\eta) = 1/(d - c), (c \leq \eta \leq d) $$

В другом варианте будет 0.
Пусть $\gamma = \xi + \eta$
Так как случайные величины $\(\xi\)$ и $\(\eta\) $являются независимыми, то плотность распределения $p(\gamma)$ случайной величины $\(\gamma\)$ может быть найдена с помощью формулы свертки:
$p(\gamma) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(\xi - \eta)g(\eta)\,d\eta $

$$p(\gamma) = \int_{-\infty}^c f(\xi - \eta)g(\eta)\,d\eta + \int_c^d f(\xi - \eta)g(\eta)\,d\eta + \int_d^{+\infty} f(\xi - \eta)g(\eta)\,d\eta$$

$$p(\gamma) = \int_{-\infty}^c f(\xi - \eta)0\,dy + \int_c^d f(\xi - \eta)1/(d - c)\,d\eta + \int_d^{+\infty} f(\xi - \eta)0\,d\eta$$

$$p(\gamma) = \int_c^d f(\xi - \eta)1/(d - c)\,dy = [z = \xi - \eta ; dz = -d\eta] = 1/(d - c)\int_{\xi - c}^{\xi - d} f(z)\,dz$$

[Kirillko93]

ну что, у кого какие догадки??

[zhoraster]

Kirillko93, устное замечание за искусственное поднятие темы.

[--mS--]

Kirillko93 в сообщении #517871 писал(а):

$p(\gamma) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(\xi - \eta)g(\eta)\,d\eta $
...

$$p(\gamma) = \int_c^d f(\xi - \eta)1/(d - c)\,dy = [z = \xi - \eta ; dz = -d\eta] = 1/(d - c)\int_{\xi - c}^{\xi - d} f(z)\,dz$$

Есть одно радикальное предложение. Давайте сделаем так, чтобы все функции зависели от нормальных переменных - $x, y, z, t, u, v, s$ и т.п. А не от тех букв, которыми обозначены случайные величины. Потому что уже Ваша формула свёртки представляет равенство, в котором слева - функция от $\gamma$, а справа - от $\xi$. В последней же строчке и вовсе бардак.

Но если иметь в виду, что левая часть в последней формуле - это всё же функция от вещественной переменной $\xi$, как и правая, то просто рассмотрите все варианты таких $\xi$, при которых отрезки $[\xi-c, \xi-d]$ и $[a, b]$ пересекаются. В зависимости от $\xi$ пересечение этих отрезков может быть разное, и интегрировать плотность $1/(b-a)$ придётся по пересечению этих отрезков.
Расположите четыре точки $a+c$, $b+c$, $a+d$, $b+d$ на прямой, и рассмотрите все пять вариантов того, где может находиться $\xi$ - слева от $a+c$, между $a+c$ и $b+c$ и т.д.
И в каждом случае посмотрите, какой окажется область интегрирования.

[Kirillko93]

--mS--

в очередной раз спасибо)
задачку сдал. дорешал вот так:

$$p_\gamma(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} p_\xi(x - y) p_\eta(y)dy$$

$$p_\gamma(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} p_\xi(x - y) p_\eta(y)dy$$

$$p_\gamma(x) = \int_{-\infty}^c p_\xi(x - y) p_\eta(y)dy + \int_c^d p_\xi(x - y) p_\eta(y)dy + \int_d^{+\infty} p_\xi(x - y) p_\eta(y)dy$$

$$p_\gamma(x) = \int_{-\infty}^c p_\xi(x - y)0dy + \int_c^d p_\xi(x - y)1/(d - c)dy + \int_d^{+\infty} p_\xi(x - y)0dy$$

$$p_\gamma(x) = 1/(d - c) \int_c^d p_\xi(x - y)dy = [z = x - y;\ dz = -dy] = 1/(d - c) \int_{x - d}^{x - c} p_\xi(z)dz$$

Соответственно распределение равно:
1) $x < a + c, p_\gamma(x) = 0$
2) $a+c \leq x \leq b + c$

$$p_\gamma(x) = 1/(d - c) \int_{x - d}^{a}0dz \ + \ 1/(d - c) \int_{a}^{x - c} dz/(b - a) = (x - c - a)/(d - c)(b - a)$$

3) $b + c \leq x \leq a + d$

$$p_\gamma(x) = 1/(d - c) \int_{x - d}^{a}0dz \ + \ 1/(d - c) \int_{a}^{b} dz/(b - a) \ + \ 1/(d - c) \int_{b}^{x - c}0dz= (b - a)/(d - c)(b - a)$$

4) $a + d \leq x \leq b + d$

$$p_\gamma(x) = 1/(d - c) \int_{x - d}^{b} dz/(b - a) \ + \ 1/(d - c) \int_{b}^{x - c} 0dz = (b - x + d)/(d - c)(b - a)$$

5) $x > b + d, p_\gamma(x) = 0$
Ответ:
$\[ p_\gamma(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & \textrm{для } x < a + c;\ x > b + d\textrm{,}\\ (x - c - a)/(d - c)(b - a) & \textrm{для } a+c \leq x \leq b + c {,}\\ (b - a)/(d - c)(b - a) & \textrm{для } b + c \leq x \leq a + d {,}\\ (b - x + d)/(d - c)(b - a) & \textrm{для } a + d \leq x \leq b + d \end{array} \right. \]$

-- 25.12.2011, 12:49 --

какая-то странная фигня с формулами, хотя написаны вроде правильно. только на последнюю ругаются, но она как раз рендерится верно)

[ewert]

Похоже на правду, только фактически всё гораздо проще. Ясно, что график плотности -- это равнобедренная трапеция с абсциссами вершин с точках $(a+c)$, $(b+c)$, $(a+d)$, $(b+d)$ и высотой $h$; вот только последнюю и остаётся найти. Ну так она мгновенно находится из условия нормировки -- площадь трапеции должна быть единичной:

$\dfrac{h}{2}\cdot\big((b+d-a-c)+(a+d-b-c)\big)=1.$

А теперь, когда координаты всех вершин известны, элементарно выписываются и явные формулы для плотности на всех участках.

[Kirillko93]

ewert
все гениальное просто)
сам бы не догадался)

[--mS--]

А Вам тоже ясно то, что ясно ewert? Мне, например (если не учитывать, что я знаю, как выглядит ответ, и знаю, почему он так выглядит), это априори совсем не ясно.

[ewert]

(Оффтоп)

--mS-- в сообщении #519769 писал(а):

Мне, например (если не учитывать, что я знаю, как выглядит ответ, и знаю, почему он так выглядит), это априори совсем не ясно.

Ну, симметрия-то распределения относительно центра (учитывая симметричность картинки) -- надеюсь, ясна?...

И линейность плотности на каждом участке между точками перескоков через вершины прямоугольников, в которых (и только в которых) меняются условия пересечения прямой $x+y=t$ с границами прямоугольника -- я думаю, тоже?...

И непрерывность плотности в зависимости от параметра $t$ -- ну уж наверняка?...

А что ещё надо.

[--mS--]

(Оффтоп)

Вот кабы мы решали задачу через геометрическую вероятность, все эти очевидности были бы действительно очевидными. Каким образом они могут стать очевидными человеку, который не увидел геометрического пути решения, а предпочёл формулу свёртки, мне абсолютно не очевидно.

[ewert]

(Оффтоп)

--mS-- в сообщении #519818 писал(а):

Вот кабы мы решали задачу через геометрическую вероятность,

Да там она ни разу не геометрическая (с формальной стороны). Но вот обнаружить симметрию задачки -- и её определённую непрерывность -- аффтар,по-моему, был обязан.

Хотя, конечно, смотря какие претензии к аффтару предъявлять.

[--mS--]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #519825 писал(а):

Да там она ни разу не геометрическая (с формальной стороны). Но вот обнаружить симметрию задачки -- и её определённую непрерывность -- аффтар,по-моему, был обязан.

Каким образом, без геометрической интерпретации? Ещё линейность, которая тоже вчера была очевидна ;)

[ewert]

(Оффтоп)

--mS-- в сообщении #519829 писал(а):

Ещё линейность, которая тоже вчера была очевидна ;)

Она и всегда была очевидна. Даже и позавчера. Вообще же -- не понимаю, о чём мы тут с Вами спорим.

[--mS--]

(Оффтоп)

Да мы не спорим. Я-то надеялась, Вы покажете, как увидеть очевидность трапециевидности плотности, исходя из сворачивания двух прямоугольных плотностей, ан как ни закручиваю прямую с двух концов вокруг то той, то другой точки на основании трапеции, не вижу ни линейности, ни непрерывности, ни тем более постоянства плотности на верхнем основании трапеции. А всё оказалось куда банальнее.

[ewert]

--mS-- в сообщении #519854 писал(а):

Я-то надеялась, Вы покажете, как увидеть очевидность трапециевидности плотности, исходя из сворачивания двух прямоугольных плотностей,

Ровно из свёртки я и исходил, а не из какой не "геометрической вероятности". Свёртка -- это интеграл от совместной плотности вдоль той самой наклонной прямой. Совместная плотность постоянна внутри прямоугольника и равна нулю вне его. Т.е. значение свёртки пропорционально длине отрезка, по которому та прямая пересекает прямоугольник. И неважно, с каким конкретно коэффициентом пропорциональна -- нормировать всегда успеется. Ну а длина того отрезка зависит от параллельного смещения прямой, очевидно, непрерывно и кусочно-линейно. Очевидно.

-- Пн дек 26, 2011 10:03:39 --

Для полноты картинки приведу ещё первое, что мне пришло в голову при взгляде на эту задачку -- исходить не из плотности, а из функции распределения. Оно, конечно, уродливее, но тоже совсем не занудно.

Функция распределения пропорциональна площади, отсекаемой от прямоугольника условием $x+y < t$. Из картинки видно, что эта площадь зависит от параметра $t$ квадратично, пока линия $x+y=t$ поднимается от левого нижнего угла прямоугольника до правого нижнего; линейно между левым нижним и правым верхним; и, наконец, снова квадратично (но уже с обратной выпуклостью) изменяется до правого верхнего угла, за которым стабилизируется на единице. А из симметрии картинки следует, что эта функция должна иметь вид:

$F_{\xi+\eta}(t)=\begin{cases}0&\ \ \text{при}\ t\leqslant a+c; \\ \beta(t-a-c)^2&\ \ \text{при}\ a+c\leqslant t\leqslant b+c; \\ \frac12+\gamma(t-\frac{a+b+c+d}{2})&\ \ \text{при}\ b+c\leqslant t\leqslant a+d; \\ 1-\beta(t-b-d)^2&\ \ \text{при}\ a+d\leqslant t\leqslant b+d; \\ 1&\ \ \text{при}\ t\geqslant b+d. \end{cases}$

И остаётся только сшить вторую и третью строчку в точке $t=b+c$ (третья и четвёртая тогда сошьются автоматически), т.е. потребовать, чтобы в этой точке совпадали как значения самих этих выражений, так и их производных -- получится простенькая системка на неизвестные параметры $\beta,\gamma$.