Вопрос по топологии: Обобщение L* пространств

[Padawan]

В книге К. Куратовского Топология, том 1 введено такое понятие

Произвольное множество называется $\mathscr{L}^*}$-пpoстранством, если в нем выделен некоторый класс последовательностей (называемых сходящимися), причем каждой последовательности $p_1, p_2,\ldots\,, p_n,\ldots$ этого класса поставлен в соответствие некоторый элемент $p=\displaystile\lim\limits_{n\to\infty}p_n$ таким образом, что выполняются следующие условия :
1° если $\displaystile\lim\limits_{n\to\infty} p_n = p$ и $k_1 < k_2 <\ldots$, то $\displaystile\lim\limits_{n\to\infty} p_{k_n} = p$;
2° если $p_n = p$ для каждого $n$, то $\displaystile\lim\limits_{n\to\infty} p_n=p$;
3° если последовательность $p_1, p_2,\ldots$ не сходится к $p$, то она содержит подпоследовательность $p_{k_1}, p_{k_2} , \ldots$, никакая подпоследовательность которой не сходится к $p$.

Такой вопрос: если слова "последовательность" и "подпоследовательность" заменить словами "направленность" и "поднаправленность", то получим новый тип пространств. Изучался ли он в литературе? Или может получается тривиальность: если определить замыкание естественным образом (как пределы сходящихся направленностей) то получается топологическое пространство. Для этого достаточно одного условия $\overline{\overline{X}}=\overline{X}$ для любого подмножества $X$.

[AD]

Любопытно погонять на знаменитом примере: сходимость почти всюду на пространстве измеримых функций не задается никакой [согласованной с линейной структурой - кстати, а без нее задается?] топологией. А что будет, если повозиться с направленностями и ввести вот так топологию?

[RIP]

(Оффтоп)

AD в сообщении #287502 писал(а):

сходимость почти всюду на пространстве измеримых функций не задается никакой [согласованной с линейной структурой - кстати, а без нее задается?] топологией

Да вроде бы вообще никакой не задаётся. Допустим противное. Берём последовательность, сходящуюся к нулю по мере, но не почти всюду. Найдётся окрестность нуля, вне которой гуляет целая подпоследовательность, которая, однако, по-прежнему сходится к нулю по мере, следовательно, из неё можно выбрать подпосл-ть, сходящуюся к нулю п.в., и получить противоречие.

[Padawan]

Отсюда автоматически следует, что и сходимость направленности функций п.в. не задаётся никакой топологией. Под сходимостью направленности функций п.в. я понимаю сходимость в поточечном смысле п.в. Свойства 1-2 выполнено. 3 вроде тоже?

Не существует топологии такой, что направленность сходится в этой топологии тогда и только тогда, когда она сходится п.в. Если бы такая топология нашлась, то это было бы верно и для последовательностей (как частного случая направленностей), что невозможно.

Значит, сходимость направленностей функций п.в. дает пример, когда $\overline{\overline{X}}\neq\overline{X}$. То есть правда новое понятие, которое к топологии не сводится.

[terminator-II]

Есть такое понятие "псевдотопология". То, что тут обсуждается, в частности, сходимость почти всюду ,формализуется в рамках этого понятия. А где про него читать не знаю, видел только в статьях. Определение содержится например в http://www.emis.de/journals/HOA/IJMMS/23/2141.pdf
Но есть и регулярная теория. Многие понятия топологии переносятся на псевдотопологиии.

[Padawan]

Спасибо!

[Padawan]

http://ncatlab.org/nlab/show/pseudotopological+space

[TILL]

RIP в сообщении #287521 писал(а):

(Оффтоп)

AD в сообщении #287502 писал(а):

сходимость почти всюду на пространстве измеримых функций не задается никакой [согласованной с линейной структурой - кстати, а без нее задается?] топологией

Да вроде бы вообще никакой не задаётся. Допустим противное. Берём последовательность, сходящуюся к нулю по мере, но не почти всюду. Найдётся окрестность нуля, вне которой гуляет целая подпоследовательность, которая, однако, по-прежнему сходится к нулю по мере, следовательно, из неё можно выбрать подпосл-ть, сходящуюся к нулю п.в., и получить противоречие.

Можно разжевать подробнее, встал вот этот вопрос. С чем возникает противоречие - с тем что мы изначально взяли сходящуюся не п.в. последовательность? А как тогда этот пример связан с заданием топологии?

[AD]

TILL в сообщении #519262 писал(а):

С чем возникает противоречие

С тем, что наша подпоследовательность целиком лежит вне некоторой окрестности нуля.

TILL в сообщении #519262 писал(а):

А как тогда этот пример связан с заданием топологии?

Посредством понятия окрестности, использованного в предыдущей строчке.