Непрерывность и монотонность (для многоместных функций)

[Mikhail Sokolov]

Известна теорема о том, что строго монотонная одноместная функция, отображающая интервал в интервал, - непрерывна.
Вопрос: существует ли аналог данной теоремы для многоместных функций? Где об этом можно почитать?

Спасибо.

[Brukvalub]

Попробуйте сначала навести порядок в многомерных пространствах, тогда и поговорим о монотонности для многоместных функций.

[Mikhail Sokolov]

Вообще-то это часть вопроса .
Например, давайте под монотонностью многоместных функций понимать монотонное возрастание по каждому аргументу (при фиксированных остальных).

И связанный с этим вопрос:
если монотонная (в соответствии с нашим определением) функция непрерывна по каждому аргументу, следует ли из этого, что она непрерывна в целом? (Для немонотонных, как известно, не следует).

[RIP]

Mikhail Sokolov писал(а):

Вообще-то это часть вопроса .
Например, давайте под монотонностью многоместных функций понимать монотонное возрастание по каждому аргументу (при фиксированных остальных).

И связанный с этим вопрос:
если монотонная (в соответствии с нашим определением) функция непрерывна по каждому аргументу, следует ли из этого, что она непрерывна в целом?

Следует. Док-во тривиально. Для простоты доказываю для функции двух переменных $f(x,y)$.
Берем любую точку $(x_0,y_0)$ и любое $\varepsilon>0$. Найдется такое $\delta_1>0$, что $f(x_0-\delta_1,y_0)>f(x_0,y_0)-\frac{\varepsilon}2,\ f(x_0+\delta_1,y_0)<f(x_0,y_0)+\frac{\varepsilon}2$. Найдется такое $\delta_2>0$, что $f(x_0-\delta_1,y_0-\delta_2)>f(x_0,y_0)-\varepsilon$, $f(x_0+\delta_1,y_0+\delta_2)<f(x_0,y_0)+\varepsilon$. Все значения функции в прямоугольнике с вершинами $(x_0\pm\delta_1,y_0\pm\delta_2)$ заключены между $f(x_0-\delta_1,y_0-\delta_2)$ и $f(x_0+\delta_1,y_0+\delta_2)$. Занавес.

[Mikhail Sokolov]

RIP
Спасибо!

[Mikhail Sokolov]

Нашел искомое обощение в топологии через гомеоморфизмы. Brukvalub, как оказалось, в своем посте отметил самую суть.