2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Непрерывность и монотонность (для многоместных функций)
Сообщение06.02.2007, 15:44 
Известна теорема о том, что строго монотонная одноместная функция, отображающая интервал в интервал, - непрерывна.
Вопрос: существует ли аналог данной теоремы для многоместных функций? Где об этом можно почитать?

Спасибо.

 
 
 
 
Сообщение06.02.2007, 21:42 
Аватара пользователя
Попробуйте сначала навести порядок в многомерных пространствах, тогда и поговорим о монотонности для многоместных функций. :shock: :D

 
 
 
 
Сообщение07.02.2007, 13:02 
Вообще-то это часть вопроса :).
Например, давайте под монотонностью многоместных функций понимать монотонное возрастание по каждому аргументу (при фиксированных остальных).

И связанный с этим вопрос:
если монотонная (в соответствии с нашим определением) функция непрерывна по каждому аргументу, следует ли из этого, что она непрерывна в целом? (Для немонотонных, как известно, не следует).

 
 
 
 
Сообщение08.02.2007, 05:21 
Аватара пользователя
Mikhail Sokolov писал(а):
Вообще-то это часть вопроса :).
Например, давайте под монотонностью многоместных функций понимать монотонное возрастание по каждому аргументу (при фиксированных остальных).

И связанный с этим вопрос:
если монотонная (в соответствии с нашим определением) функция непрерывна по каждому аргументу, следует ли из этого, что она непрерывна в целом?

Следует. Док-во тривиально. Для простоты доказываю для функции двух переменных $f(x,y)$.
Берем любую точку $(x_0,y_0)$ и любое $\varepsilon>0$. Найдется такое $\delta_1>0$, что $f(x_0-\delta_1,y_0)>f(x_0,y_0)-\frac{\varepsilon}2,\ f(x_0+\delta_1,y_0)<f(x_0,y_0)+\frac{\varepsilon}2$. Найдется такое $\delta_2>0$, что $f(x_0-\delta_1,y_0-\delta_2)>f(x_0,y_0)-\varepsilon$, $f(x_0+\delta_1,y_0+\delta_2)<f(x_0,y_0)+\varepsilon$. Все значения функции в прямоугольнике с вершинами $(x_0\pm\delta_1,y_0\pm\delta_2)$ заключены между $f(x_0-\delta_1,y_0-\delta_2)$ и $f(x_0+\delta_1,y_0+\delta_2)$. Занавес.

 
 
 
 
Сообщение08.02.2007, 15:31 
RIP
Спасибо!

 
 
 
 
Сообщение10.02.2007, 23:16 
Нашел искомое обощение в топологии через гомеоморфизмы. Brukvalub, как оказалось, в своем посте отметил самую суть.

 
 
 [ Сообщений: 6 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group