Вопрос об эквивалентности множеств

[Bod]

Имеется два множества А и Б положим что они являются эквивалентными, это означает что между всеми элементами А и Б установлено биективное отношение (каждому элементу из А соответствует только один элемент Б), а значит количество элементов А и Б совпадает. Положим теперь что А есть несчетное множество с мощностью континуума, для определенности пускай это будет множество действительных чисел на некотором отрезке с длинной 2, а Б есть множество всех действительных чисел на отрезке с длинной 1 при чем очевидно что Б включается а А. Очевидно что между множеством А и его подмножеством Б можно установить биективное отношение, например: а = 2*б (где а принадлежит А, б любой элемент Б). Это означает что А и Б эквивалентны а значит количество элементов А и количество элементов Б совпадает. Следовательно множество А\Б ни содержит ни одного элемента и в то же время легко установить что множество А\Б эквивалентно множеству Б а значит количество элементов не равно нулю. Необходимо установить в чем заключается ошибка этих рассуждений.

[ИСН]

С бесконечностями шутки типа "количество совпадает" не прокатывают - тут самое обычное дело "взял всё, что было, а там ещё столько же осталось".

[Bod]

ИСН писал(а):

С бесконечностями шутки типа "количество совпадает" не прокатывают - тут самое обычное дело "взял всё, что было, а там ещё столько же осталось".

Я с этим согласен, но вот хочется для себя понять это более четко, то есть - очевидно что ошибка есть но где и какова суть этой ошибки

[Someone]

Bod писал(а):

ИСН писал(а):

С бесконечностями шутки типа "количество совпадает" не прокатывают - тут самое обычное дело "взял всё, что было, а там ещё столько же осталось". :shock: :D

Я с этим согласен, но вот хочется для себя понять это более четко, то есть - очевидно что ошибка есть но где и какова суть этой ошибки :?:

А ошибка в том, что взяли столько же, сколько было, но не всё. Поэтому и осталось.

[Bod]

Someone писал(а):

Bod писал(а):

ИСН писал(а):

С бесконечностями шутки типа "количество совпадает" не прокатывают - тут самое обычное дело "взял всё, что было, а там ещё столько же осталось".

Я с этим согласен, но вот хочется для себя понять это более четко, то есть - очевидно что ошибка есть но где и какова суть этой ошибки

А ошибка в том, что взяли столько же, сколько было, но не всё. Поэтому и осталось.

Несколько необычно воспринимается с точки зрения повседневной логики
То есть как я понимаю понятие количество в бесконечных множествах использовать не представляется возможным и оно теряет в этом случае свою связь с таким понятием как мощность множества.

[Someone]

Bod писал(а):

Someone писал(а):

А ошибка в том, что взяли столько же, сколько было, но не всё. Поэтому и осталось.

Несколько необычно воспринимается с точки зрения повседневной логики :)

Да. На повседневную логику лучше не надеяться. Вы же сами пишете, что на отрезке $[0,2]$ столько же точек, сколько и на отрезке $[0,1]$, и знаете, почему. Поэтому, забирая весь отрезок $[0,1]$, вы забираете столько же точек, сколько их на отрезке $[0,2]$. Но забираете Вы их не все, поскольку остаётся ещё полуинтервал $(1,2]$, на котором точек опять столько же, сколько на отрезке $[0,2]$ (проверить это чуть-чуть хлопотнее, но всё-равно несложно).

[Bod]

Благодарю, в общем то примерно так я и думал но мне необходимо было уточнить.

[Bod]

Подскажите пожалуйста - мощность множества всех точек расположенных на прямой такова же, как и мощность множества всех точек трех мерного пространства? и из этого следует, что каждой точке трехмерного пространства соответствует точка прямой.

[ИСН]

Отрезок равномощен квадрату - это есть во всех учебниках. А дальнейшее банально.

[PAV]

Bod писал(а):

Подскажите пожалуйста - мощность множества всех точек расположенных на прямой такова же, как и мощность множества всех точек трех мерного пространства? и из этого следует, что каждой точке трехмерного пространства соответствует точка прямой.

Да.

[Bod]

То есть получается любое n мерное пространство может быть представленно как одномерное где

\[n < \infty \]

Добавлено спустя 2 минуты 52 секунды:

В чем тогда заключается существенная разница n мерного от m мерного пространства где

\[n \ne m\]

.
ПС: Уж простите если задаю глупые вопросы.

[PAV]

В плане мощности множеств - разницы нет. Но с точки зрения других свойств разница может быть. Например, с точки зрения линейных операций, определенных стандартным образом. На этом, собственно, и построено понятие размерности.

[Bod]

Цитата:

Например, с точки зрения линейных операций, определенных стандартным образом. На этом, собственно, и построено понятие размерности

Нет, это то я как раз прекрасно понимаю просто получается что одно n мерное линейное пространство получается может быть однозначно преобразовано в m мерное где n > m. То есть как таковой разницы не существует так как операции над m мерными объектами будут соответствовать операциям над n мерными обектами.

[PAV]

Да, но это будут другие операции, совершенно нестандартные, которые даже описать непросто. И содержательного смысла в них не будет.

[bot]

Bod, что Вы называете существенной разницей?

Добавлю к тому, что сказал PAV.
Есть разница между множеством чётных чисел и ... множеством чётных чисел? Дык, они даже не по мощности равны, а вообще совпадают.
А теперь рассмотрим одно из них относительно сложения, а другое относительно умножения.

Есть разница между множеством действительных чисел и множеством положительных действительных чисел?
В плане мощности разницы нет, если же рассматривать их как подмножества в множестве комплексных чисел, то одно строго содержится в другом, а теперь первое из них рассмотрим относительно операции сложения, а другое относительно операции умножения и попробуем отличить их в терминах этой операции. Ничего не получится - они теперь снова неотличимы, эти объекты становятся изоморфными и изоморфизм задаётся известным отображением x --> lnx из второго множества в первое.

В Вашем примере, любые два пространства над одним и тем же полем конечных размерностей изоморфны в том и только в том случае, когда их размерности совпадают. Если выбросить операции, оставив лишь носители, то изоморфизм будет означать просто равномощность, но тогда и прощай такие понятия, как линейная зависимость, базис, размерность и т.д. и т.п.