Вопрос об эквивалентности множеств

[Bod]

bot, то есть вы хотите сказать что понятие размерности не может быть применено к множеству на котором не определены некоторый набор операций? Нет, понятно что определение размерности которое дается для линейных пространств можно использовать только в линейных пространствах, но как мне кажется (математически я пока это не смог сформулировать) что и само по себе множество может обладать некоторой размерностью вне зависимости от определенных на нем операций.

[ИСН]

Валяйте, попробуйте определить размерность без операций. Размерность линейных пространств, как Вы же и отметили - фича линейных пространств. Размерность Хаусдорфа - требует иметь хотя бы метрику, а значит, опять тащи сюда весь паровоз. Ещё варианты?

[Руст]

Есть теория размерности для топологических пространств. Там не требуется наличие алгебраических операций.

[AlexDem]

По-моему, по теме будет: Колмогоров А.Н. "О представлении непрерывных функций нескольких переменных в виде суперпозиции непрерывных функций одного переменного", Докл. АН СССР, 1957, Т.114, №5

По этому поводу цитата из Горбань А.Н., Дунин-Барковский В.Л., Миркес Е.М. и др. "Нейроинформатика", Новосибирск: Наука. Сиб. предприятие РАН, 1998, Глава 1 "Возможности нейронных сетей":

Цитата:

От условия непрерывности можно отказаться н тогда получится довольно тривиальный результат связанный, по существу, с равномощностью отрезка и куба любой размерности. Условие непрерывности нельзя значительно усилить: существуют аналитические функции многих переменных, которые не допускают представления с помощью суперпозиции аналитических функций двух переменных. Более того, все l раз непрерывно дифференцируемые функции трех переменных нельзя представить в виде суперпозиций функций двух переменных, каждая из которых дифференцируема [2l/3] раз и все частные производные которых порядка [2l/3] удовлетворяют условию Липшица (выражение [2l/3] означает целую часть числа 2l/3). Это доказано А.Г. Витушкиным.

[bot]

Bod писал(а):

bot, то есть вы хотите сказать что ...

Я хотел только сказать, что прежде чем говорить о различиях, существенных или не существенных, надо вложить в этот термин точный математический смысл.
Какие различия может ловить отношение раномощности множеств без наличия дополнительных структур на множестве? Вот только эту равно- и разномощность и может ловить, смысл его введения был именно в этом. Избегая "слишком больших" множеств рассмотрим множество подножеств некоторого универсума. Отношение равномощности (которое задаётся существованием 1-1-значного отображения одного на другое) разобъёт это множество подмножеств на классы эквивалентности. Представители одного класса окажутся равномощными, а разных - нет. Если в качестве универсума взять множество точек плоскости, то в одном классе окажутся точки любой прямой и точки всей плоскости. Как Вы собираетесь только лишь в терминах существования биекции различить прямую и плоскость, если биекции их не различают? Ясно, что без наложения дополнительных структур топологического, алгебраического или иного толка (в конце концов, хотя бы и аксиоматически) этого не достичь.
То есть всё зависит от языка, на котором Вы хотите это различие получить. Можно без труда привести пример языка, на котором даже и мощность определить будет нельзя - этот язык не сможет отличить 2-элементное множество от 3-, 4-элементного, ... счётного, континуального ...

[Bod]

Да абсолютно согласен, без задания "карты взаимоотношений элементов" понятие размерности смысла не имеет, а введение метрики пространства или некоторого набора операций, или подобных структур определяет эту самую "карту взаимоотношений".
Благодарю за разъяснение.