функция от матриц

[MaximVD]

Функцию от матрицы можно строить и не используя жорданову форму. И на мой взгляд этот способ проще. Состоит он в следующем. Пусть функция $f$ определена на спектре матрицы $A$ и мы хотим построить $f(A)$. Далее, пусть $\lambda_1, \ldots, \lambda_k$ это собственные числа (т.е. спектр) матрицы $A$, с кратностями $l_1, \ldots, l_k$. Необходимо найти такой многочлен $p(\lambda)$, чтобы $f^{(s)}(\lambda_i) = p^{(s)}(\lambda_i)$ для всех $s \in \{ 0, 1, \ldots, l_i -1 \}$ и $i \in \{ 1,\ldots, k \}$. Тогда $f(A) = p(A)$.
Если размерность матрицы невелика (как в примере), то удобно искать многочлен $p$ методом неопределённых коэффициентов. При этом степень многочлена, очевидно, нужно брать равной $n-1$, где $n$ - размерность матрицы.

[ИСН]

patriarch в сообщении #518571 писал(а):

скажите, что я не так делаю, вычисляя матрицу сопряженную. я уже правда не знаю..

Ой, я не помню, как там оно. Возьмите железкой да посмотрите.

[patriarch]

ИСН в сообщении #518582 писал(а):

Ой, я не помню, как там оно. Возьмите железкой да посмотрите.

Что за железка? да и хочется разобраться...ведь на зачете эта тема будет...

[Dan B-Yallay]

patriarch в сообщении #518586 писал(а):

Что за железка? да и хочется разобраться...ведь на зачете эта тема будет...

"Железка"- это такой силиконовый камень. Обычно от фирмы Intel или AMD.

[Null]

BVR в сообщении #518562 писал(а):

Null

А там где стоит вторая производная разве не надо на 2 поделить?
Вот нашел краткое описание процесса:
http://dep805.ru/education/kk/jmatrix/part6.htm

Да.
$F\left(\begin{matrix}\lambda&1&0\\ 0&\lambda&1\\0&0&\lambda\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}F(\lambda)&F'(\lambda)&F''(\lambda)/2\\ 0&F(\lambda)&F'(\lambda)\\0&0&F(\lambda)\end{matrix}\right)$

[patriarch]

patriarch в сообщении #518468 писал(а):

$sinA=J(A)-\frac{{J(A)}^3}{3!}+\frac{{J(A)}^5}{5!}+...+(-1)^{n-1}*\frac{{J(A)}^{2n-1}}{(2n-1)!}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}-\frac{1}{3!}*\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&3\\0&0&1\end{pmatrix}+...+\frac{(-1)^{n-1}}{(2n-1)!}*\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&n-1\\0&0&1\end{pmatrix}$

И вообще общий алгоритм?
1)Найти жорданову форму
2)разложить функцию в ряд тейлора
3)подставить в этот ряд жорданову форму

Так, ладно, матрицу перехода я с горем пополам нашел. $C=\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&1\\0&0&0,5\end{pmatrix}-$
Теперь я так понимаю надо весь ряд умножить слева на $C^{-1}$ и справа на $C$ ?

[patriarch]

я правильно понял, что $sin(J)=\begin{pmatrix}sin(1)&cos(1)&-\frac{1}{2}*sin(1)\\0&sin(1)&cos(1)\\0&0&sin(1)\end{pmatrix}$
$sin(A)=C*sin(J)C^{-1}$

[patriarch]

Подскажите, а то я запутался..вот в примере $J=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}$
А $e^J=\begin{pmatrix}e&0\\0&1\end{pmatrix}$
разве элемент $e_{12}$ не должен быть равен $\frac{d}{dx}e^x$ при x=0 и получится 1.

[ewert]

Здесь же жордановы клетки тривиальны. А та формула относилась к случаю нетривиальной клетки.

[patriarch]

ewert
то есть я не правильно посчитал? в первой строке у меня второй и третий элемент должны быть нулевые? так как одна из клеток тривиальна?