Элементы поля GF(125)

[Elarium]

Помогите, не знаю как подобраться к задаче. Значит есть поле $\mathbf{GF}(5)$ и есть многочлен $f(x)=x^3+x^2+x+4$ который неприводим над этим полем. Обозначив один из корней буквой $\theta$ нужно выразить все элементы поля $\mathbf{GF}(125)$

Я нашел такое тождество, что $\mathbf{K}=\mathbf{Z}_p \diagup \langle f(x) \rangle}$, но как связать его с $\theta$ понять не могу, помогите!

[bnovikov]

Elarium в сообщении #518206 писал(а):

Я нашел такое тождество, что ${\mathbf K}={\mathbf Z}_p / \langle f(x) \rangle$

Что сие означает?

[VAL]

Посмотрите здесь.

[Elarium]

bnovikov в сообщении #518330 писал(а):

Elarium в сообщении #518206 писал(а):

Я нашел такое тождество, что ${\mathbf K}={\mathbf Z}_p / \langle f(x) \rangle$

Что сие означает?

Ну как вы мне сможете помочь, если вы не знаете что "сие означает".

K - кольцо многочленов (в нашем случае поле GF(125))
$Z_p$ - Кольцо целых чисел по модулю p (в нашем случае GF(5))
$f(x)$ - Неприводимый многочлен над полем Галуа.

[bnovikov]

Elarium в сообщении #518467 писал(а):

Ну как вы мне сможете помочь, если вы не знаете что "сие означает".

K - кольцо многочленов (в нашем случае поле GF(125))
$Z_p$ - Кольцо целых чисел по модулю p (в нашем случае GF(5))
$f(x)$ - Неприводимый многочлен над полем Галуа.

В моем вопросе был намек на то, чтобы Вы разобрались в том, что Вы написали. Я-то разобрался и вижу, что в этой небольшой формуле свалено все в одну кучу.

Например, запись ${\mathbf Z}_p / \langle f(x) \rangle$ обычно обозначает факторкольцо по идеалу. Как это у Вас получилось, что "кольцо целых чисел по модулю $p$" содержит многочлен $f(x)$?

[nnosipov]

Elarium в сообщении #518467 писал(а):

K - кольцо многочленов (в нашем случае поле GF(125))
$Z_p$ - Кольцо целых чисел по модулю p (в нашем случае GF(5))
$f(x)$ - Неприводимый многочлен над полем Галуа.

Что за безграмотные фразы ... Если бы мои студенты что-нибудь подобное на экзамене написали, моментально бы на пересдачу отправились.

[Elarium]

bnovikov в сообщении #518482 писал(а):

Elarium в сообщении #518467 писал(а):

Ну как вы мне сможете помочь, если вы не знаете что "сие означает".

K - кольцо многочленов (в нашем случае поле GF(125))
$Z_p$ - Кольцо целых чисел по модулю p (в нашем случае GF(5))
$f(x)$ - Неприводимый многочлен над полем Галуа.

Как это у Вас получилось, что "кольцо целых чисел по модулю $p$" содержит многочлен $f(x)$?

Это кольцо многочленов, ошибочка

-- Чт дек 22, 2011 19:28:35 --

nnosipov в сообщении #518494 писал(а):

Elarium в сообщении #518467 писал(а):

K - кольцо многочленов (в нашем случае поле GF(125))
$Z_p$ - Кольцо целых чисел по модулю p (в нашем случае GF(5))
$f(x)$ - Неприводимый многочлен над полем Галуа.

Что за безграмотные фразы ... Если бы мои студенты что-нибудь подобное на экзамене написали, моментально бы на пересдачу отправились.

Фразы косячные, но это просто из-за моей неполноты знаний :)
$Z_p$ эквивалентно полю GF(p) c точностью до изоморфизма.
Поле $GF(p^n)$ строится как факторкольцо и $<f(x)>$ является идеалом, ну а так же ядром гомоморфизма.

P.S. Задача уже решена с помощью теоремы о вложении и теореме о гомоморфизме колец.

[Joker_vD]

Ни $\mathbb Z_p$, ни $GF(q)$ не являются кольцами многочленов.

Но раз решили — здорово... только как-то подозрительно смотрится набор инструментов. Вы точно решили?