Гипотеза о распределении простых чисел.

[Руст]

Пусть $\pi(a,b)$ означает, число простых чисел в интервале $(a,b)$, а $R(a,b)$ определено, как отклонение от ожидаемого:

$$R(a,b)=\pi(a,b)-\int_a^b \frac{dx}{\ln x } .$$

Выдвигаю гипотезу, что при $2<a<b$ выполняется:
$|R(a,b)|<\sqrt{b-a} +\ln a .$
Конечно, эта гипотеза не может быть доказана (она гораздо сильнее гипотезы Римана). Однако, она может быть легко отвергнута, если найдётся интервал, где она не выполняется. Для этого, надо найти интервал, где количество простых существенно больше, чем в среднем, или существенно меньше. Интересно узнать, есть ли экспериментальные данные о таких интервалах. Насколько я знаю, вычислены все простые меньше $N$, где $N$ порядка $10^{16}.$

[e2e4]

Позвольте спросить: эта задачка учебная, или вы сами не знаете ответа? Если второе, то до какого максимального интервала вы сами проводили проверку?

[Руст]

Это не задача, а гипотеза. Проверено до миллиарда.

[AndAll]

Руст в сообщении #28207 писал(а):

Пусть $\pi(a,b)$ означает, число простых чисел в интервале $(a,b)$, а $R(a,b)$ определено, как отклонение от ожидаемого:

$$R(a,b)=\pi(a,b)-\int_a^b \frac{dx}{\ln x } .$$

Выдвигаю гипотезу, что при $2<a<b$ выполняется:
$|R(a,b)|<\sqrt{b-a} +\ln a .$
Конечно, эта гипотеза не может быть доказана (она гораздо сильнее гипотезы Римана). Однако, она может быть легко отвергнута, если найдётся интервал, где она не выполняется. Для этого, надо найти интервал, где количество простых существенно больше, чем в среднем, или существенно меньше. Интересно узнать, есть ли экспериментальные данные о таких интервалах. Насколько я знаю, вычислены все простые меньше $N$, где $N$ порядка $10^{16}.$

Если я не сильно ошибаюсь, то Ваша гипотеза эквивалентна предположению о том, что

$\pi \left( x \right) - {\text{Li}}\left( x \right) < \ln x$

причем слагаемое $\sqrt {b - a} $ не имеет смысла и может быть заменено любой подходящей функцией, не противоречащей второму слагаемому $\ln a$.

[Руст]

Вы ошибаетесь. Другое дело, из него получаются гораздо более сильные следствия. Например, из его справедливости получается, что в интервале $(a,a+\frac{3+\sqrt 5 }{2}\ln^2 a )$ всегда имеется простое число.

[Sonic86]

Руст в сообщении #28207 писал(а):

Конечно, эта гипотеза не может быть доказана (она гораздо сильнее гипотезы Римана). Однако, она может быть легко отвергнута, если найдётся интервал, где она не выполняется.

Большие интервалы есть тут:
http://mathworld.wolfram.com/PrimeGaps.html
Только насчет опровержения не совсем понятно - можно же корень или логарифм домножить на константу, получится новая гипотеза, которая будет все равно лучше гипотезы Римана. Хотя зависит от того, из каких рассуждения было построена гипотеза.
Интересно. А из

Руст в сообщении #28311 писал(а):

из его справедливости получается, что в интервале $(a,a+\frac{3+\sqrt 5 }{2}\ln^2 a )$ всегда имеется простое число.

следует ли обратное?

[Руст]

Sonic86 в сообщении #518363 писал(а):

Руст в сообщении #28207 писал(а):

Интересно. А из

Руст в сообщении #28311 писал(а):

из его справедливости получается, что в интервале $(a,a+\frac{3+\sqrt 5 }{2}\ln^2 a )$ всегда имеется простое число.

следует ли обратное?

Нет, не следует.

[sergei1961]

А из Римана какая следует оценка для этой разности?

[Руст]

sergei1961 в сообщении #518400 писал(а):

А из Римана какая следует оценка для этой разности?

Гипотеза Римана эквивалентно о равномерности распределения простых в среднем, а в малых интервалах $b-a<<a$ ничего из него не вытекает. В среднем ($a=1$)
$|\pi(b)-Li(b)|<\frac{\sqrt b}{8\pi}\ln b$.

[Sonic86]

Sonic86 в сообщении #518363 писал(а):

Большие интервалы есть тут:

Проверил: гипотеза выполняется (для интервалов без простых дробь $\frac{R(a,b)}{\int\limits_a^b \frac{dx}{\ln x}}<\frac{R(a,b)}{ \frac{b-a}{\ln a}}$ - последняя выше $0,47$ не была (посмотрел: отношение возрастает примерно от $0,34$ до $0,42$ с дерганьями. Жаль нет данных до $10^{100}$)).

[Sonic86]

А я на самом деле наврал, что я ее проверил. Т.е. я точно не помню и теперь у меня такое ощущение, что я наврал.
Как проверить быстрее, чем за $O(n^2)$ - я даже не представляю. Кто-нибудь знает?

Вот пишу теперь, что смог проверить:
Пусть $b=a+u$, тогда гипотеза примет вид:

$$\left|\pi(a,b)-\int_a^{a+u} \frac{dx}{\ln x}\right|<\sqrt{u}+\ln a$$

При фиксированном $u$ $\pi(a,b)$ меняется от 0 до максимального числа простых на отрезке длиной в $u$.
1. Когда $\pi(a,b)$ максимально - получаются почти энки из 2-й гипотезы Харди-Литлвуда:
данные можно взять здесь
https://en.wikipedia.org/wiki/Prime_k-tuple http://oeis.org/A008407 http://oeis.org/A065688
В этом случае у меня численно получается, что сначала интеграл почти полностью съедает значение $\pi(a,b)$, в результате получается довольно слабое неравенство.
Аналитически оценка примерно такая: $\pi(a,a+u)\approx \pi(u)$ (казалось бы $\leqslant$, но 1-я гипотеза Харди-Литлвуда неверна). Далее также для простоты предположим, что $\pi(u)<\int_a^{a+u} \frac{dx}{\ln x}$ (это очень вероятно, но при число Скьюза все помним) и тогда модуль раскроется без знака:

$$\pi(u)-\sqrt{u}<\int_a^{a+u} \frac{dx}{\ln x}+\ln a$$

Слева константа, справа - сумма возрастающей и убывающей функции, у нее есть минимум $x$, определяемый соотношением $\frac{1}{\ln(x+u)}-\frac{1}{\ln x}+\frac{1}{x}=0$, откуда $u=-x+e^{\frac{x\ln x}{x-\ln x}}\sim\ln^2 x$, т.е. $x_{\min}\approx e^{\sqrt{u}}$. Тогда правая часть неравенства $\approx \frac{e^{\sqrt{u}}}{\sqrt{u}}+\sqrt{u}$, в то время как левая часть $\sim\frac{u}{\ln u}$, т.е. здесь неравенство асимптотически верное и очень слабое - можно усиливать.
2. Когда $\pi(a,b)=0$ неравенство получается почти точным без учета константы:

$$\int_a^{a+u} \frac{dx}{\ln x}<\sqrt{u}+\ln a$$

Ясно, что $a$ для проверки следует брать минимальное - наименьшие пробелы максимальной длины между простыми. Они есть здесь:
http://mathworld.wolfram.com/PrimeGaps.html
Вот оттуда берем данные и подставляем. Причем здесь можно аналитически: неравенство следует из чуть более сильной оценки $\frac{u}{\ln a}<\sqrt{u}+\ln a$. Здесь мы можем просто решить квадратное уравнение (да! квадратные уравнения нужны!) и получить равносильное $\frac{\sqrt{u}}{\ln a}<\frac{1+\sqrt{5}}{2}$. Вспомним, что здесь $u$ - длина пробела между простыми. По гипотезе Крамера и эмпирически https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0 ... 1%80%D0%B0 асимптотически $u(a)\leqslant \ln ^2 a$. Т.е. получается $1<\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ - это верно, но получается, что оценка в гипотезе все еще м.б. улучшена на константу как минимум, хотя ее формулировка при уточнении явно станет сложнее...



Ну давайте на многочлены обобщим:
Если $f$ - целозначный неприводимый многочлен над $\mathbb{Q}$, $\pi_f(a,b)$ - число простых значений $f(x)$ в интервале $(a,b)$, и $f(x)>1$ в $(a,b)$, то

$$\left|\pi_f(a,b)-C_f\int\limits_{a}^{b}\frac{dt}{\ln t}\right| < C_f(\sqrt{b-a}+\ln |f(a)|)$$

где константа $C_f$ дается гипотезой Бейтмана-Хорна.

Здесь тоже наиболее интересен случай больших цепочек составных значений многочлена. Для последовательности всех целых чисел, порожденных многочленом $f(x)=x$ по гипотезе Крамера $p_{n+1}-p_n\leqslant \ln^2p_n$ для $p_n>2$. Соответственно для многочленов нужно обобщать гипотезу так:
Пусть $f$ - целозначный неприводимый многочлен над $\mathbb{Q}$, $p_f(n)$ - последовательность простых значений $f$, тогда $p_f(n+1)-p_f(n)=O(\ln ^2 p_f(n))$, причем константу в неравенстве я не знаю $O$-оценка опытным данным не противоречит. (данные в конце)
Аналитически проверим только самый точный случай, когда $b=a+u$, $\pi_f(a,b)=0$:
$\int\limits_{a}^{a+u}\frac{dt}{\ln t}< \sqrt{u}+\ln |f(a)|$
Получается то же самое, оно следует из более сильного соотношения $\frac{u}{\ln a}< \sqrt{u}+\ln |f(a)|$, тут $\ln f(a)\sim \deg f \ln a $, значит асимптотически должно получаться $\sqrt{u}<\frac{1+\sqrt{1+4\deg f}}{2} \ln a$, в частности $u=O(\ln ^2 a)$
(предпоследнее неравенство у чуть-чуть меня неверно на самом первом пробеле для $f(x)=x^2+1$, а на остальных моих данных оно выполняется)

Давайте эту гипотезу тоже тестить

И еще надо обобщить на конечное множество многочленов, чтобы был полный аналог гипотезы Бейтмана-Хорна.

(данные)

Пробелы между простыми значениями для многочлена $x^2+1$ для $x\leqslant 2\cdot 10^8$:

gap      x
2   2
4   6
10   26
14   40
16   94
20   184
34   350
40   496
46   3390
88   3536
100   45370
112   82734
130   99064
152   357164
212   840904
288   3880556
330   27914936
346   40517520
444   104715206

Пробелы между простыми значениями для многочлена $x^2+x+1$ для $x\leqslant10^8$:

gap      x
2   3
4   8
6   27
9   41
12   119
13   218
20   246
24   644
28   1718
33   2205
35   3345
42   8324
48   8835
53   25257
54   25434
57   39422
71   45534
75   60392
77   66477
78   113729
95   173214
104   205638
115   244685
132   952398
140   2521347
142   4384031
166   6814220
220   14832599
228   60555561
231   81600914