А я на самом деле наврал, что я ее проверил. Т.е. я точно не помню и теперь у меня такое ощущение, что я наврал.
Как проверить быстрее, чем за
- я даже не представляю. Кто-нибудь знает?
Вот пишу теперь, что смог проверить:
Пусть
, тогда гипотеза примет вид:
При фиксированном
меняется от 0 до максимального числа простых на отрезке длиной в
.
1. Когда
максимально - получаются почти энки из 2-й гипотезы Харди-Литлвуда:
данные можно взять здесь
https://en.wikipedia.org/wiki/Prime_k-tuple http://oeis.org/A008407 http://oeis.org/A065688В этом случае у меня численно получается, что сначала интеграл почти полностью съедает значение
, в результате получается довольно слабое неравенство.
Аналитически оценка примерно такая:
(казалось бы
, но 1-я гипотеза Харди-Литлвуда неверна). Далее также для простоты предположим, что
(это очень вероятно, но при число Скьюза все помним) и тогда модуль раскроется без знака:
Слева константа, справа - сумма возрастающей и убывающей функции, у нее есть минимум
, определяемый соотношением
, откуда
, т.е.
. Тогда правая часть неравенства
, в то время как левая часть
, т.е. здесь неравенство асимптотически верное и очень слабое - можно усиливать.
2. Когда
неравенство получается почти точным без учета константы:
Ясно, что
для проверки следует брать минимальное - наименьшие пробелы максимальной длины между простыми. Они есть здесь:
http://mathworld.wolfram.com/PrimeGaps.htmlВот оттуда берем данные и подставляем. Причем здесь можно аналитически: неравенство следует из чуть более сильной оценки
. Здесь мы можем просто решить квадратное уравнение (да! квадратные уравнения нужны!) и получить равносильное
. Вспомним, что здесь
- длина пробела между простыми. По гипотезе Крамера и эмпирически
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0 ... 1%80%D0%B0 асимптотически
. Т.е. получается
- это верно, но получается, что оценка в гипотезе все еще м.б. улучшена на константу как минимум, хотя ее формулировка при уточнении явно станет сложнее...
Ну давайте на многочлены обобщим:
Если
- целозначный неприводимый многочлен над
,
- число простых значений
в интервале
, и
в
, то
где константа
дается гипотезой Бейтмана-Хорна.
Здесь тоже наиболее интересен случай больших цепочек составных значений многочлена. Для последовательности всех целых чисел, порожденных многочленом
по гипотезе Крамера
для
. Соответственно для многочленов нужно обобщать гипотезу так:
Пусть
- целозначный неприводимый многочлен над
,
- последовательность простых значений
, тогда
, причем константу в неравенстве я не знаю
-оценка опытным данным не противоречит. (данные в конце)
Аналитически проверим только самый точный случай, когда
,
:
Получается то же самое, оно следует из более сильного соотношения
, тут
, значит асимптотически должно получаться
, в частности
(предпоследнее неравенство у чуть-чуть меня неверно на самом первом пробеле для
, а на остальных моих данных оно выполняется)
Давайте эту гипотезу тоже тестить
И еще надо обобщить на конечное множество многочленов, чтобы был полный аналог гипотезы Бейтмана-Хорна.
(данные)
Пробелы между простыми значениями для многочлена
для
:
Код:
gap x
2 2
4 6
10 26
14 40
16 94
20 184
34 350
40 496
46 3390
88 3536
100 45370
112 82734
130 99064
152 357164
212 840904
288 3880556
330 27914936
346 40517520
444 104715206
Пробелы между простыми значениями для многочлена
для
:
Код:
gap x
2 3
4 8
6 27
9 41
12 119
13 218
20 246
24 644
28 1718
33 2205
35 3345
42 8324
48 8835
53 25257
54 25434
57 39422
71 45534
75 60392
77 66477
78 113729
95 173214
104 205638
115 244685
132 952398
140 2521347
142 4384031
166 6814220
220 14832599
228 60555561
231 81600914