Вичислить

[DjD USB]

Вычислить $a^{2006} + \frac{1}{a^{2006}}$ если $a^2-a+1=0$

[Руст]

$a=exp(\pm \frac{\pi i}{3})$. Соответственно $a^6=1, a^{2006}=a^2=exp(\pm\frac{2\pi i}{3}), a^2+a^{-2}=-1.$

[DjD USB]

Руст в сообщении #518038 писал(а):

$a=exp(\pm \frac{\pi i}{3})$.

Что это значит ????

[Praded]

DjD USB в сообщении #518050 писал(а):

Что это значит ????

Это комплексное решение квадратного уравнения.

[nnosipov]

Решать уравнение $a^2-a+1=0$ не обязательно. Можно рассуждать так. Если $a^2-a+1=0$, то $a^3+1=0$. Поделим теперь числитель и знаменатель дроби $a^{2006}+a^{-2006}=(a^{4012}+1)/a^{2006}$ на $a^3+1$ с остатком. А дальше всё само и вычислится.

[Shadow]

Третий вариант: $a^2-a+1=0$ Делим на а, получаем $a+\frac{1}{a}=1$.
Обозначим $f(n)=a^n+\frac{1}{a^n}$
Так как $f(1).f(n)=f(n+1)+f(n-1)\Rightarrow f(n+1)=f(n)-f(n-1)$

$\\f(0)=2,f(1)=1,f(2)=-1,f(3)=-2\\ f(4)=-1,f(5)=1,f(6)=2,f(7)=1$
Попадаем в цикличность по модулю 6, т.е $f(2006)=f(2)=-1$