2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Вичислить
Сообщение21.12.2011, 13:48 


16/03/11
844
No comments
Вычислить $a^{2006} + \frac{1}{a^{2006}}$ если $a^2-a+1=0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Вичислить
Сообщение21.12.2011, 14:30 
Заслуженный участник


09/02/06
4401
Москва
$a=exp(\pm \frac{\pi i}{3})$. Соответственно $a^6=1, a^{2006}=a^2=exp(\pm\frac{2\pi i}{3}), a^2+a^{-2}=-1.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Вичислить
Сообщение21.12.2011, 15:02 


16/03/11
844
No comments
Руст в сообщении #518038 писал(а):
$a=exp(\pm \frac{\pi i}{3})$.

Что это значит ????

 Профиль  
                  
 
 Re: Вичислить
Сообщение21.12.2011, 15:20 
Заслуженный участник


21/05/11
897
DjD USB в сообщении #518050 писал(а):
Что это значит ????
Это комплексное решение квадратного уравнения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вичислить
Сообщение21.12.2011, 15:27 
Заслуженный участник


20/12/10
9111
Решать уравнение $a^2-a+1=0$ не обязательно. Можно рассуждать так. Если $a^2-a+1=0$, то $a^3+1=0$. Поделим теперь числитель и знаменатель дроби $a^{2006}+a^{-2006}=(a^{4012}+1)/a^{2006}$ на $a^3+1$ с остатком. А дальше всё само и вычислится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вичислить
Сообщение21.12.2011, 16:14 


26/08/11
2110
Третий вариант: $a^2-a+1=0$ Делим на а, получаем $a+\frac{1}{a}=1$.
Обозначим $f(n)=a^n+\frac{1}{a^n}$
Так как $f(1).f(n)=f(n+1)+f(n-1)\Rightarrow f(n+1)=f(n)-f(n-1)$

$\\f(0)=2,f(1)=1,f(2)=-1,f(3)=-2\\
f(4)=-1,f(5)=1,f(6)=2,f(7)=1$
Попадаем в цикличность по модулю 6, т.е $f(2006)=f(2)=-1$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group