интересное "рекуррентное уравнение"

[number_one]

$6x_{n+2}+x_{n+1}-x_n=-3n^2$

$x_0=0$ и еще $x_1=2$

Из начальных условий нашел $x_2$, знаю как найти $x_3$.

Но как решить это уравнение в общем виде?

[_hum_]

А дальше штудируете тему "Решение линейного неоднородного рекуррентного уравнения" :)

[number_one]

_hum_ в сообщении #518003 писал(а):

А дальше штудируете тему "Решение линейного неоднородного рекуррентного уравнения" :)

Спасибо!

1) Найдем общее решение однородного уравнения

$6x_{n+2}+x_{n+1}-x_n=0$

$6x_{n+2}=-x_{n+1}+x_n=0$

Характеристическое уравнение

$6r^2=-r+1$

$6r^2+r-1=0$

$r_1=\frac{-1+5}{12}=\frac{1}{3}$

$r_2=\frac{-1-5}{12}=-\frac12$

$x_n^{oo}=C_1\cdot 3^{-n}+C_2\cdot {(-2)}^{-n}$

2) Будем искать частное решение неоднородного уравнения в виде

$x_n^{partial}=an^2+bn+c$

Подставим эту штуку в исходное уравнение.

$6\{a(n+2)^2+b(n+2)+c\}+a(n+1)^2+b(n+1)+c-an^2-bn-c=-3n^2$

При $n^2$

$6a+a-a=-3$

=> $a=-\frac12$

При $n$

$12a+6b+2a+b-b=0$

$b=-\frac{14a}6=\frac76$

При $n^0$

$24a+12b+6c+a+b=0$

$-12+14+6c-\frac12+\frac76=0$

$6c=-2+\frac12-\frac76=\frac{-12+3-7}{6}=-\frac{16}{6}=-\frac{8}{3}$

$c=-\frac{8}{3\cdot 6}=-\frac{4}{9}$

$x_n^{partial}=-\frac12 n^2+\frac76 n-\frac49$

3) Общее решение неоднородного уравнения

$x_n=C_1\cdot 3^{-n}+C_2\cdot {(-2)}^{-n}-\frac12 n^2+\frac76 n-\frac49$

4) Найдем константы из начальных условий... Правильно? Хотя бы метод?

[number_one]

Я не прошу проверить числа, а просто -- правильный ли способ решения или нет?

[_hum_]

number_one в сообщении #518026 писал(а):

правильный ли способ решения или нет?

Похоже на правду (хотя я не специалист по рекуррентным уравнениям).

[Cash]

У вас частное решение получилось уравнения
$6x_{n+2}+x_{n+1}-x_n=-3(n^2+2n)$
А вообще рассуждения верные

[Руст]

number_one в сообщении #518004 писал(а):

_hum_ в сообщении #518003 писал(а):

А дальше штудируете тему "Решение линейного неоднородного рекуррентного уравнения" :)

При $n$

$12a+6b+2a+b-b=0$
Правильно? Хотя бы метод?

Правильно $24a+6b+2a+b-b=0$.

[number_one]

Спасибо, понятно