2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 интересное "рекуррентное уравнение"
Сообщение21.12.2011, 12:18 


23/11/11
230
$6x_{n+2}+x_{n+1}-x_n=-3n^2$

$x_0=0$ и еще $x_1=2$

Из начальных условий нашел $x_2$, знаю как найти $x_3$.

Но как решить это уравнение в общем виде?

 Профиль  
                  
 
 Re: интересное "рекуррентное уравнение"
Сообщение21.12.2011, 12:24 


23/12/07
1763
А дальше штудируете тему "Решение линейного неоднородного рекуррентного уравнения" :)

 Профиль  
                  
 
 Re: интересное "рекуррентное уравнение"
Сообщение21.12.2011, 12:30 


23/11/11
230
_hum_ в сообщении #518003 писал(а):
А дальше штудируете тему "Решение линейного неоднородного рекуррентного уравнения" :)

Спасибо!

1) Найдем общее решение однородного уравнения

$6x_{n+2}+x_{n+1}-x_n=0$

$6x_{n+2}=-x_{n+1}+x_n=0$

Характеристическое уравнение

$6r^2=-r+1$

$6r^2+r-1=0$

$r_1=\frac{-1+5}{12}=\frac{1}{3}$

$r_2=\frac{-1-5}{12}=-\frac12$

$x_n^{oo}=C_1\cdot 3^{-n}+C_2\cdot {(-2)}^{-n}$

2) Будем искать частное решение неоднородного уравнения в виде

$x_n^{partial}=an^2+bn+c$

Подставим эту штуку в исходное уравнение.

$6\{a(n+2)^2+b(n+2)+c\}+a(n+1)^2+b(n+1)+c-an^2-bn-c=-3n^2$

При $n^2$

$6a+a-a=-3$

=> $a=-\frac12$

При $n$

$12a+6b+2a+b-b=0$

$b=-\frac{14a}6=\frac76$

При $n^0$

$24a+12b+6c+a+b=0$

$-12+14+6c-\frac12+\frac76=0$

$6c=-2+\frac12-\frac76=\frac{-12+3-7}{6}=-\frac{16}{6}=-\frac{8}{3}$

$c=-\frac{8}{3\cdot 6}=-\frac{4}{9}$

$x_n^{partial}=-\frac12 n^2+\frac76 n-\frac49$

3) Общее решение неоднородного уравнения

$x_n=C_1\cdot 3^{-n}+C_2\cdot {(-2)}^{-n}-\frac12 n^2+\frac76 n-\frac49$

4) Найдем константы из начальных условий... Правильно? Хотя бы метод?

 Профиль  
                  
 
 Re: интересное "рекуррентное уравнение"
Сообщение21.12.2011, 13:50 


23/11/11
230
Я не прошу проверить числа, а просто -- правильный ли способ решения или нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: интересное "рекуррентное уравнение"
Сообщение21.12.2011, 14:00 


23/12/07
1763
number_one в сообщении #518026 писал(а):
правильный ли способ решения или нет?

Похоже на правду (хотя я не специалист по рекуррентным уравнениям).

 Профиль  
                  
 
 Re: интересное "рекуррентное уравнение"
Сообщение21.12.2011, 14:27 
Заслуженный участник


12/09/10
1547
У вас частное решение получилось уравнения
$6x_{n+2}+x_{n+1}-x_n=-3(n^2+2n)$
А вообще рассуждения верные

 Профиль  
                  
 
 Re: интересное "рекуррентное уравнение"
Сообщение21.12.2011, 14:38 
Заслуженный участник


09/02/06
4397
Москва
number_one в сообщении #518004 писал(а):
_hum_ в сообщении #518003 писал(а):
А дальше штудируете тему "Решение линейного неоднородного рекуррентного уравнения" :)


При $n$

$12a+6b+2a+b-b=0$
Правильно? Хотя бы метод?

Правильно $24a+6b+2a+b-b=0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: интересное "рекуррентное уравнение"
Сообщение21.12.2011, 19:58 


23/11/11
230
Спасибо, понятно

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group