Сколько пятизначных чисел можно составить?

[number_one]

1. Сколько пятизначных чисел можно составить, при условии, что в них есть числа 2,4.

Чисел всего 10шт, на первом месте ноль стоять не может
Цифр всего 10шт (AKM)

Есть 2 альтернативы у меня, что $N_{2,4}=C_9^2\cdot C_{10}^2\cdot C_{10}^2\cdot C_{10}^2\cdot C_{10}^2$

Или $N_{2,4}=(5C_{10}^2-9)\cdot C_{10}^5$

2. Сколько $a\in Z:0<a<1200$ не делятся на 6.

Есть гипотеза представить $1200=2^4\cdot 5^2\cdot 3$ и подумать какие числа делятся на 6.

А потом их вычесть из 1200.

$1200:6=200$

Значит $\overline N =200$ чисел делятся на 6.

Тогда не делятся $N=1200-200=1000$

Правильно?

[gris]

1. Я понял условие так: в числе обязательно должна присутствовать хотя бы одна четвёрка и хотя бы одна двойка. Я бы решал способом второй задачи: нашёл бы количество чисел без этих цифр; с двойкой, но без четвёрок; с четвёркой, но бех двоек. Множества не пересекаются. Дополнение к их объединению составляют искомые числа.

2. Способ правильный. Но количество чисел, делящихся на 6, найдено неверно.
Сравните: пусть условие $0<a<12$. $12:6=2$, но в указанном интервале только одно число делится на 6.

[Whitaker]

Я хотел тоже самое написать, но gris меня опередил
Последуйте совету gris он Вам подсказал очень хороший способ.
Докажите следующее утверждение, оно Вам поможет при решении задачи №2 и похожих на него задач.
Пусть дан ряд натуральных чисел $1, 2, \dots, N$, то количество чисел в этом ряду кратные некоторому $k$ равно $\Big[\dfrac{N}{k} \Big]$.
Подставляете и всё.
Я так "по диагонали" посмотрел Вашу первую задачу и по-моему она неправильно решена. ЧТо Вы там делаете? Откуда взялись биномиальные коэффициенты?

-- Ср дек 21, 2011 08:43:02 --

gris я не совсем понял условие первой задачи
А к первой задаче относится число вида $23567$, которое содержит только двойку?
К задаче относятся только числа, содержащие одновременно $2$ и $4$ ?

[gris]

Условие действительно туманно. Но можно одновременно все варианты посчитать. Там основная трудность отсеять нули вначале, а остальное нсложно.

[number_one]

gris в сообщении #517946 писал(а):

1. Я понял условие так: в числе обязательно должна присутствовать хотя бы одна четвёрка и хотя бы одна двойка. Я бы решал способом второй задачи: нашёл бы количество чисел без этих цифр; с двойкой, но без четвёрок; с четвёркой, но бех двоек. Множества не пересекаются. Дополнение к их объединению составляют искомые числа.

2. Способ правильный. Но количество чисел, делящихся на 6, найдено неверно.
Сравните: пусть условие $0<a<12$. $12:6=2$, но в указанном интервале только одно число делится на 6.

Спасибо

2 задача. Тогда $1001$?

1 задача. Можно так? Всего 5-значных чисел $N=99999-10000+1=90000$

5-значное число в виде $\alpha_1\cdot\alpha_2\cdot\alpha_3\cdot\alpha_4\cdot\alpha_5$

Есть варианты

a) все альфы -- двойки. Это один вариант

б) 4 альфы -- двойки.

Пусть $\alpha_5=2$, а $\alpha_i\ne 2$ при $i=1,2,3,4$

Тогда таких чисел будет $\varphi_5=9999-999-99-99$

$\varphi_1=..= \varphi_5=9999-999-99-99$

в) 3 альфы -- двойки.
....

г) 2 альфы -- двойки

д) 1 альфа -- двойка

[Shadow]

Да, с нулями вначале неприятно. Но можно и так: Назовем цифры 2 и 4 "специальными". Какова вероятность, что первая специальная цифра будет на первой позиции, а среди остальных 4 найдется хотя бы одна "другая специальная". Потом, что первая специальная будет на второй позиции, а среди остальных 3....
Придется вычислить $p_1,p_2,p_3,p_4$ и проблема 0 в старшей позиции решается.

[gris]

В первой задаче ответ всё-таки 1000.
У Вас одна ошибка скомпенсировала другую . (И это нормально (с точки зрения статистики)). Чисел то 1199.

[Shadow]

gris в сообщении #518042 писал(а):

В первой задаче ответ всё-таки 1000

Во второй
По первой, я почему то все вероятности вычисляю . Но там в знаменателе всегда будет $9.10^4$ так что в числителе ответ

[Whitaker]

Вообще для первой задачи нужно найти числа содержащие одновременно $2$ и $4$ ?

[number_one]

gris в сообщении #518042 писал(а):

В первой задаче ответ всё-таки 1000.
У Вас одна ошибка скомпенсировала другую . (И это нормально (с точки зрения статистики)). Чисел то 1199.

Спасибо, задача про 1000 тогда понятна!

-- 21.12.2011, 20:14 --

Shadow в сообщении #518030 писал(а):

Да, с нулями вначале неприятно. Но можно и так: Назовем цифры 2 и 4 "специальными". Какова вероятность, что первая специальная цифра будет на первой позиции, а среди остальных 4 найдется хотя бы одна "другая специальная". Потом, что первая специальная будет на второй позиции, а среди остальных 3....
Придется вычислить $p_1,p_2,p_3,p_4$ и проблема 0 в старшей позиции решается.

Цитата:

Какова вероятность, что первая специальная цифра будет на первой позиции

$p_{1}=\frac{1}{9}$

Цитата:

среди остальных 4 найдется хотя бы одна "другая специальная"

$p_{2,3,4,5}=0,4$

Цитата:

Какова вероятность, что первая специальная цифра будет на первой позиции, а среди остальных 4 найдется хотя бы одна "другая специальная"

$2p_{1}p_{2,3,4,5}=\frac{4}5\cdot \frac19=\frac4{45}$

Так?

[Shadow]

Вероятность, что первая цифра специальная $\frac{2}{9}$ Две специальные цифры из 9-ти разрешенных (в других позиций разрешенне будут все 10. Но это еще недостаточно. Нужно, чтобы в остальных позиций "вышла" другая специальная (хотя бы 1 раз). Значит
$p_1=\frac{2}{9}[1-(\frac{9}{10})^4]$Вычислите сейчас, что первая не будет, вторая будет, и среди остальных 3.....Напоминаю, что вероятности вычисляем чисто информативно. В числителе будут "благоприятные исходы"

[number_one]

Shadow в сообщении #518202 писал(а):

Вероятность, что первая цифра специальная $\frac{2}{9}$ Две специальные цифры из 9-ти разрешенных (в других позиций разрешенне будут все 10. Но это еще недостаточно. Нужно, чтобы в остальных позиций "вышла" другая специальная (хотя бы 1 раз). Значит
$p_1=\frac{2}{9}[1-(\frac{9}{10})^4]$Вычислите сейчас, что первая не будет, вторая будет, и среди остальных 3.....Напоминаю, что вероятности вычисляем чисто информативно. В числителе будут "благоприятные исходы"

Спасибо, понятно!

Первая не будет $\frac79$. Вторая будет $\frac{1}{5}$. Какая из 3,4,5 - $[1-(\frac{9}{10})^2]$

Все вместе

$$\frac79\cdot \frac15\cdot [1-(\frac{9}{10})^2]$$

[Shadow]

$[1-(\frac{9}{10})^3]$ Но рекомендую писать $\frac{2}{10}$ вместо $\frac{1}{5}$, чтобы в знаменателе всегда было $9.10^4$.

[number_one]

Спасибо, ввиду симметричности 2, 3, 4, 5 числа имеют схожие вероятности, тогда искомое число благоприятных исходов

$$9\cdot 10^9\cdot\Big\{4\cdot \frac79\cdot \frac15\cdot [1-(\frac{9}{10})^3]+\frac29\cdot [1-(\frac{9}{10})^4]\Big\}$$

Правильно?

[number_one]

*Под цифрами 2, 3, 4, 5 имел ввиду номер позиции в пятизначном числе!