Геометрия Лобачевского: когда четырехугольники изометричны?

[Donald]

Ребят,помогите решить задачку по дифгему:

Выяснить, когда два четырехугольника на плоскости Лобачевского с бесконечными длинами сторон изометричны?

Пробовал строить четырехугольник на верхней полуплоскости,не ясно что значит бесконечные длины сторон,и как это изобразить.Потом думаю надо наверное придумать отображение переводящее 3 вершины одного в 3 вершины другого а четвертая будет на бесконечности?

[BVR]

Наверное на модели Клейна удобнее. Думаю, что это четырехугольники, у которых две противоположные вершины лежат на абсолюте и которые переходят друг в друга при движениях плоскости Лобачевского. А движениями на этой модели будут преобразования стационарной подгруппы круга группы проективных преобразований. Например, это могут быть гомологии с осью, содержащей диаметр и с центром, лежащим на этой оси (параболические). Вот только забыл - другие есть или нету

[Donald]

Модель Клейна это тоже самое что модель Пуанкаре?У нас просто не было понятия модели Клейна.Да про гомологии вроде тоже не говорилось на лекциях.

[BVR]

Нет. В модели Клейна абсолют - это круг на евклидовой плоскости или овальная линия на проективной. Точки - внутренние точки круга, а прямые - хорды абсолюта.
Раз не говорилось, то надо делать в модели Пуанкаре. Там можно нарисовать три подряд полуокружности, касающиеся друг друга на абсолюте, четвертая большая касается двух крайних тоже на абсолюте. У такого четырехугольника все вершины лежат на абсолюте. А как построить, чтобы противоположные лежали надо подумать. Завтра (а то поздно уже). Но можно, так как между моделями можно изоморфизм установить.
Да. Движениями тут являются цепочки инверсий относительно окружностей и осевых симметрий относительно перпендикулярных абсолюту лучей.

[BVR]

Я думаю, что все такие четырехугольники равны (изометричны, конгруэнтны). Поскольку их стороны лучи (или прямые), то они равны. У таких четырехугольников две противоположные вершины должны быть несобственными (лежать на абсолюте), а значит углы при этих вершинах равны (нулю). Проведя по диагонали, не проходящие через эти две несобственные вершины, в каждом четырехугольнике, доказываем равенство получившихся соответствующих треугольников по первому признаку. Ну а потом показываем (чтобы с выпуклостью не возиться) что при совмещении одной пары треугольников, совместится и другая пара.
Насчет модели такого четырехугольника в модели Пуанкаре. На абсолюте строим подряд 4 точки $A, B, C, E$. Точку $F$ берем между $A$ и $B$, а точку $D$ - между $C$ и $E$. Строим полуокружности с диаметрами: $AB, BD, CE, FE$. Точку пересечения полуокружностей с диаметрами $AB$ и $FE$ обозначим $Q$, а точку пересечения полуокружностей с диаметрами $BD$ и $CE$ - $P$. Четырехугольник $BQEP$ - искомый.

[Donald]

Всмысле искомый?В залаче спрашивается же я так понял условие чтобы 2 4угольника были изометричны.
И с треугольниками не совсем понял.

Вы извините,может я спрашиваю совсем тривиальные вещи,но просто пока не могу разобраться(

[vvsss]

Уточните, пожалуйста, понятие изометричности.

[BVR]

Я неточно выразился. Мягко говоря, соврал чуть-чуть. Все четырехугольники с несобственными вершинами равны (конгруэнтны, изометричны). И все четырехугольники, у которых две противоположные вершины несобственные, а две другие собственные равны, если углы при собственных вершинах равны. А еще может быть случай, когда три вершины несобственные, а третья собственная. Тогда надо, чтобы углы при собственной вершине были равны.
vvsss
Думаю, что изометрии здесь - это движения плоскости Лобачевского.

Donald
с треугольниками плохо. Если вершины окажутся по одну сторону от диагонали , а у другого по разные, то четырехугольники не совместятся. То есть надо эти два случая отдельно рассматривать.

[Donald]

Ну для себя я понял что здесь это дробно-линейные преобразования SL(2,R)
Составил такое,вроде как 3 точки одного переводятся в 3 точки другого

$w=\frac{w_2 (z-z_3) - w_3 c (z-z_2)}{z-z_3-c (z-z_2)}$

где $c=\frac{(z_1-z_2)(w_1-w_2)}{(z_1-z_3)(w_1-w_3)}$

соответственно точки $z_i$ исходные,а точки $w_i$ их образы

[BVR]

Зачем это?

[Donald]

Так у меня задание выяснить когда эти 4угольники будут изометричными.Я так понимаю надо получить какое-то условие,разве не преобразование надо получить?

[BVR]

Нет. Вам надо выяснить, при каких условиях на эти два четырехугольника существует преобразование, переводящее один в другой. И вовсе его не обязательно явно выписывать. Достаточно д-ть, что оно существует. А оно существует, если у четырехугольников равны стороны и углы. Ведь в геом. Лобачевского действуют все аксиомы абсолютной геометрии. Это значит, что верны все признаки равенства треугольников. Да еще и признак равенства треугольников по трем углам.

[Donald]

А вот тот 4угольник который вы построили парой сообщений выше,это исходный или который получен?Или это пример 4угольника,для которого это выполняется?

[BVR]

Это просто пример четырехугольника с бесконечной длиной всех сторон.

[Donald]

А можно такой 4угольник построить на верхней полуплоскости?