Всем добрый вечер. При решении некоторых задач возникло несколько вопросов.
1) Найти область сходимости степенного ряда
![$\sum\limits_{n=0}^{\infty }2n^2(x+2)^{n^2}$ $\sum\limits_{n=0}^{\infty }2n^2(x+2)^{n^2}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/c/8/9c80e4c41ec532255591c885b00f969a82.png)
. Применил признак Даламбера к ряду из модулей и после некоторых вычислений получил, что интервал абсолютной сходимости исходного ряда есть
![$\left(-3; -1 \right)$ $\left(-3; -1 \right)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/8/a/e8a06df09e9a656af94fa50acec8149282.png)
. Но при исследовании сходимости на концах возникли проблемы.
При
![$x=-1$ $x=-1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/f/5/bf5ac0bcbf53cc190fe2bb49a301eed182.png)
просто: получаем ряд
![$\sum\limits_{n=0}^{\infty }2n^2(1)^{n^2} = \sum\limits_{n=0}^{\infty }2n^2 = 2\sum\limits_{n=0}^{\infty }n^2$ $\sum\limits_{n=0}^{\infty }2n^2(1)^{n^2} = \sum\limits_{n=0}^{\infty }2n^2 = 2\sum\limits_{n=0}^{\infty }n^2$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/d/0/4d0007e88baa559ed730f320adddf9bf82.png)
, а т.к.
![$\lim\limits_{n\rightarrow \infty}n^2 \rightarrow \infty$ $\lim\limits_{n\rightarrow \infty}n^2 \rightarrow \infty$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/a/2/5a2ab23daf58c178f0a3c9c84100589f82.png)
, то ряд расходится по необходимому признаку сходимости.
При
![$x=-3$ $x=-3$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/f/7/9f7af7a219d225e668d4adf5b7d94fe782.png)
возник вопрос. Имеем:
![$\sum\limits_{n=0}^{\infty }2n^2(-1)^{n^2} = 2\sum\limits_{n=0}^{\infty }n^2(-1)^{n}$ $\sum\limits_{n=0}^{\infty }2n^2(-1)^{n^2} = 2\sum\limits_{n=0}^{\infty }n^2(-1)^{n}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/f/3/3f34b1cb15460d844a5f923cfb851f1682.png)
. так вот, чему равен предел
![$\lim\limits_{n\rightarrow \infty}(-1)^{n}n^2$ $\lim\limits_{n\rightarrow \infty}(-1)^{n}n^2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/1/7/b1795ecf36997d55f61ec32d74ef39b582.png)
? Похоже, что он не существует, т.к. будет числовая последовательность с чередующимся знаком, причём возрастающая по модулю.
2) Разложить функцию
![$\frac{\sin 3x}{x} - \cos 3x$ $\frac{\sin 3x}{x} - \cos 3x$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/f/1/cf188fcbfee7dc6051312b1109502dd682.png)
в ряд Маклорена.
В принципе всё просто. Используя стандартные разложения синуса и косинуса, получим:
![$$\frac{\sin 3x}{x} - \cos 3x = \sum\limits_{n=0}^{\infty}(\frac{(-1)^n 3^{2n+1}x^{2n}}{(2n+1)!} - \frac{(-1)^n 3^{2n}x^{2n}}{(2n)!}) = \sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^nx^{2n}(\frac{3^{2n+1}}{(2n+1)!} - \frac{3^{2n}}{(2n)!})$$ $$\frac{\sin 3x}{x} - \cos 3x = \sum\limits_{n=0}^{\infty}(\frac{(-1)^n 3^{2n+1}x^{2n}}{(2n+1)!} - \frac{(-1)^n 3^{2n}x^{2n}}{(2n)!}) = \sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^nx^{2n}(\frac{3^{2n+1}}{(2n+1)!} - \frac{3^{2n}}{(2n)!})$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/a/9/4a96fab00fa7e35dfd4495beaf8c2b8482.png)
Но какова область разложения? Вся числовая ось кроме 0, т.к. в 0 функция не определена?
3) Последний вопрос. Надо вычислить интеграл
![$\int\limits_{0}^{25}\frac{e^{-2x^2}}{\sqrt{x}}dx$ $\int\limits_{0}^{25}\frac{e^{-2x^2}}{\sqrt{x}}dx$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/c/b/3cbe8089c4dadc77ef29a274bd92586082.png)
Используя стандартное разложение получим:
![$\frac{e^{-2x^2}}{\sqrt{x}} = (\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-2x^2)^n}{n!})x^{-1/2} = \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-2)^n x^{2n-1/2}}{n!}$ $\frac{e^{-2x^2}}{\sqrt{x}} = (\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-2x^2)^n}{n!})x^{-1/2} = \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-2)^n x^{2n-1/2}}{n!}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/8/c/b8c5116e653556f37984ecce7a879bd182.png)
Отсюда:
![$\int\limits_{0}^{25}\frac{e^{-2x^2}}{\sqrt{x}}dx = \left. \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-2)^n x^{2n+1/2}}{n!(2n+1/2)}\right|_0^{25}$ $\int\limits_{0}^{25}\frac{e^{-2x^2}}{\sqrt{x}}dx = \left. \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-2)^n x^{2n+1/2}}{n!(2n+1/2)}\right|_0^{25}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/c/e/acebdc2b3fbdf08a6708beff855ddd7382.png)
.
Меня смущает то, что исходная функция в 0 не определена, поэтому по-хорошему интеграл надо брать в стремлении нижнего предела к 0 с положительной стороны. Но т.к. на нижнем пределе ряд определён, то можно сказать, что разложение верно?