Несколько вопросов о рядах

[lamo]

Всем добрый вечер. При решении некоторых задач возникло несколько вопросов.
1) Найти область сходимости степенного ряда $\sum\limits_{n=0}^{\infty }2n^2(x+2)^{n^2}$. Применил признак Даламбера к ряду из модулей и после некоторых вычислений получил, что интервал абсолютной сходимости исходного ряда есть $\left(-3; -1 \right)$. Но при исследовании сходимости на концах возникли проблемы.
При $x=-1$ просто: получаем ряд $\sum\limits_{n=0}^{\infty }2n^2(1)^{n^2} = \sum\limits_{n=0}^{\infty }2n^2 = 2\sum\limits_{n=0}^{\infty }n^2$, а т.к. $\lim\limits_{n\rightarrow \infty}n^2 \rightarrow \infty$, то ряд расходится по необходимому признаку сходимости.
При $x=-3$ возник вопрос. Имеем: $\sum\limits_{n=0}^{\infty }2n^2(-1)^{n^2} = 2\sum\limits_{n=0}^{\infty }n^2(-1)^{n}$. так вот, чему равен предел $\lim\limits_{n\rightarrow \infty}(-1)^{n}n^2$? Похоже, что он не существует, т.к. будет числовая последовательность с чередующимся знаком, причём возрастающая по модулю.
2) Разложить функцию $\frac{\sin 3x}{x} - \cos 3x$ в ряд Маклорена.
В принципе всё просто. Используя стандартные разложения синуса и косинуса, получим:

$$\frac{\sin 3x}{x} - \cos 3x = \sum\limits_{n=0}^{\infty}(\frac{(-1)^n 3^{2n+1}x^{2n}}{(2n+1)!} - \frac{(-1)^n 3^{2n}x^{2n}}{(2n)!}) = \sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^nx^{2n}(\frac{3^{2n+1}}{(2n+1)!} - \frac{3^{2n}}{(2n)!})$$

Но какова область разложения? Вся числовая ось кроме 0, т.к. в 0 функция не определена?
3) Последний вопрос. Надо вычислить интеграл $\int\limits_{0}^{25}\frac{e^{-2x^2}}{\sqrt{x}}dx$
Используя стандартное разложение получим:
$\frac{e^{-2x^2}}{\sqrt{x}} = (\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-2x^2)^n}{n!})x^{-1/2} = \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-2)^n x^{2n-1/2}}{n!}$
Отсюда:
$\int\limits_{0}^{25}\frac{e^{-2x^2}}{\sqrt{x}}dx = \left. \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-2)^n x^{2n+1/2}}{n!(2n+1/2)}\right|_0^{25}$.
Меня смущает то, что исходная функция в 0 не определена, поэтому по-хорошему интеграл надо брать в стремлении нижнего предела к 0 с положительной стороны. Но т.к. на нижнем пределе ряд определён, то можно сказать, что разложение верно?

[SpBTimes]

1)

lamo в сообщении #517323 писал(а):

Похоже, что он не существует, т.к. будет числовая последовательность с чередующимся знаком, причём возрастающая по модулю.

Верно, но даже этого не надо. Достаточно, что предел не ноль.
2)

lamo в сообщении #517323 писал(а):

Макларена

Маклорена.
Может, область сходимости?
3) Можно. Ведь очевидно, что интеграл сходящийся

[lamo]

SpBTimes в сообщении #517338 писал(а):

Верно, но даже этого не надо. Достаточно, что предел не ноль.

Спасибо, с первым ясно.

SpBTimes в сообщении #517338 писал(а):

Маклорена.

Прошу прощения, поправил.

SpBTimes в сообщении #517338 писал(а):

Может, область сходимости?

Область сходимости относится, как я понял, к самому ряду. И она будет вся числовая прямая, т.к. при x=0 ряд будет из нулей. А вот функция не определена. Но в этом нет ничего особенного, т.к. рассматривать ряд при значениях, в которых функция не определена, не имеет смысла?

SpBTimes в сообщении #517338 писал(а):

Можно. Ведь очевидно, что интеграл сходящийся

Спасибо.

[SpBTimes]

Да нет, во втором всё хорошо везде. Дам же устранимый разрыв

[lamo]

SpBTimes в сообщении #517358 писал(а):

Да нет, во втором всё хорошо везде. Дам же устранимый разрыв

Устранить разрыв с сохранением непрерывности можно определив $f(0)=2$. Это видно по графику. Но ряд при $x=0$ состоит из нулей, т.е. его сумма не совпадает тогда со значением функции.

[SpBTimes]

Из нулей он не состоит. Посомтрите, от какой степени $x$ суммирование

[lamo]

SpBTimes в сообщении #517563 писал(а):

Из нулей он не состоит. Посомтрите, от какой степени $x$ суммирование

Опачки и правда. Но $0^0$ это скорее 0 или 1? :)
Добрые люди, помогите с 3-ей ещё!
Уточнил задание. Там не просто решить, а посчитать с заданной точностью 0,001.

lamo в сообщении #517323 писал(а):

Используя стандартное разложение получим:
$\frac{e^{-2x^2}}{\sqrt{x}} = (\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-2x^2)^n}{n!})x^{-1/2} = \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-2)^n x^{2n-1/2}}{n!}$
Отсюда:
$\int\limits_{0}^{25}\frac{e^{-2x^2}}{\sqrt{x}}dx = \left. \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-2)^n x^{2n+1/2}}{n!(2n+1/2)}\right|_0^{25}$.

После постановки верхнего предела интегрирования (на нижнем будет 0) получим

$$\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-2)^n 25^{2n+1/2}}{n!(2n+1/2)} = \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{ (-1)^n 2^{n+1} 5^{4n+1} } { n!(4n+1) }$$

Wolfram считает, что исходный интеграл и полученная сумма равны: [url=http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+%28e^%28-2x^2%29%2Fsqrt%28x%29%29dx+from+0+to+25]итеграл[/url], [url=http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+%28%28-1%29^n+*+2^%28n%2B1%29+*+5^%284n%2B1%29%29+%2F+%28n!%284n%2B1%29%29%2C+n%3D0+to+infinity]сумма[/url].
Но как вручную просуммировать ряд с заданной точностью?

[sergei1961]

1. ноль в степени ноль-это одна из стандартных неопределённостей.
2. последний ряд с некоторого (правда, довольно далёкого из-за требования монотоноости) места знакочередующийся и удовлетворяющий признаку Лейбница. По нему ошибку легко всегда оценить.

[lamo]

sergei1961 в сообщении #517677 писал(а):

1. ноль в степени ноль-это одна из стандартных неопределённостей.

Это значит при нуле ряд не определён?

sergei1961 в сообщении #517677 писал(а):

2. последний ряд с некоторого (правда, довольно далёкого из-за требования монотоноости) места знакочередующийся и удовлетворяющий признаку Лейбница. По нему ошибку легко всегда оценить.

Это да, но меня настораживает, что получился такой ряд. Там даже при $n=100$ член ряда больше $10^{150}$. Т.е. если даже найти номер, с которого ряд будет монотонно убывать, то, думаю, даже просто просуммировать ряд до этого номера будет крайне трудно. Обычно же учебные задания даются для простых рядов, которые должны сразу по теореме Лейбница давать малое n, которое даёт нужную точность. И вот не пойму, может я неправильно интеграл взял?

[sergei1961]

Практически при вычислениях суммы ряда я бы взял интеграл от нуля до бесконечности, который выражается через гамма-функцию, и вычел из него интеграл от 25 до бесконечности, который очень мал.