Кривая

задана своими кривизной

и кручением

, обе функции гладкие при

;

-- натуральный параметр.
Теорема. Предположим, что

монотонны и

Тогда кривая

неограничена -- не содержится в шаре.
Доказательство. Перепишем систему
в матричной форме

Домножим слева обе чатси этой системы на ковектор

и проинтегрируем полученное равенство по

:

Преобразуем левую часть этого равенства с помощью второй теоремы о среднем:

![$$=\ae(0)(r_1(\xi)-r_1(0))+\ae(s)(r_1(s)-r_1(\xi)),\quad \xi\in [0,s]$$ $$=\ae(0)(r_1(\xi)-r_1(0))+\ae(s)(r_1(s)-r_1(\xi)),\quad \xi\in [0,s]$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/9/1/9911d67751c8f574cb59b593ea2efa7882.png)
Аналогично,
![$$\int_0^sr'_3(a)k(a)da=k(0)(r_3(\eta)-r_3(0))+k(s)(r_3(s)-r_3(\eta)),\quad \eta\in [0,s]$$ $$\int_0^sr'_3(a)k(a)da=k(0)(r_3(\eta)-r_3(0))+k(s)(r_3(s)-r_3(\eta)),\quad \eta\in [0,s]$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/6/d/36d2e1bfc989751e45eeef50d82f50c982.png)
Получилась следующая формула


Предположим, что вектор

-- ограничен:

. Поделим левую и правую часть равенства (*) на

и перейдем к пределу при

получим

. Противоречие. ЧТД
Замечание. Теорему можно обобщить, если вместо ковектора

использовать ковектор

, где функуция

подлежит определению. Другой способ обощить эту неорему -- делать тоже самое на промежутках монотонности кривизны и кручения.