натуральное уравнение кривой в пространстве

[Oleg Zubelevich]

Кривая $\gamma\subset\mathbb{R}^3$ задана своими кривизной $k(s)$ и кручением $\ae(s)$, обе функции гладкие при $s\ge 0$; $s$ -- натуральный параметр.

Теорема. Предположим, что $\ae,k$ монотонны и

$$\lim_{s\to\infty}\int_0^s\ae(a)da=\pm\infty,\quad \lim_{s\to\infty}\frac{k(s)}{\int_0^s\ae(a)da}=\lim_{s\to\infty}\frac{\ae(s)}{\int_0^s\ae(a)da}=0.$$

Тогда кривая $\gamma$ неограничена -- не содержится в шаре.


Доказательство. Перепишем систему

Oleg Zubelevich в сообщении #514641 писал(а):

$$r_1'=kr_2+1,\quad r_2'=r_3\ae-r_1k,\quad r_3'=-r_2\ae$$

в матричной форме

$$r'=\begin{pmatrix} 0&k&0\\ -k&0&\ae\\ 0&-\ae&0 \end{pmatrix}r+\begin{pmatrix} 1\\ 0\\0\end{pmatrix}$$

Домножим слева обе чатси этой системы на ковектор $\omega=(\ae,0,k)$ и проинтегрируем полученное равенство по $s$:

$$\int_0^sr'_1(a)\ae(a)+r'_3(a)k(a)da=\int_0^s\ae(a)da.$$

Преобразуем левую часть этого равенства с помощью второй теоремы о среднем:

$$\int_0^sr'_1(a)\ae(a)da=\ae(0)\int_0^\xi r_1'(a)da+\ae(s)\int_\xi^sr'_1(a)da$$

$$=\ae(0)(r_1(\xi)-r_1(0))+\ae(s)(r_1(s)-r_1(\xi)),\quad \xi\in [0,s]$$

Аналогично,

$$\int_0^sr'_3(a)k(a)da=k(0)(r_3(\eta)-r_3(0))+k(s)(r_3(s)-r_3(\eta)),\quad \eta\in [0,s]$$

Получилась следующая формула

$$k(0)(r_3(\eta)-r_3(0))+k(s)(r_3(s)-r_3(\eta))$$

$$+\ae(0)(r_1(\xi)-r_1(0))+\ae(s)(r_1(s)-r_1(\xi))=\int_0^s\ae(a)da\qquad (*).$$

Предположим, что вектор $r(s)=(r_1,r_2,r_3)^T(s)$ -- ограничен: $\sup_{s\ge 0}|r(s)|<\infty$. Поделим левую и правую часть равенства (*) на $\int_0^s\ae(a)da$ и перейдем к пределу при $s\to \infty$ получим $0=1$. Противоречие. ЧТД

Замечание. Теорему можно обобщить, если вместо ковектора $\omega$ использовать ковектор $\lambda\omega$, где функуция $\lambda$ подлежит определению. Другой способ обощить эту неорему -- делать тоже самое на промежутках монотонности кривизны и кручения.

[Oleg Zubelevich]

Общая формулировка теоремы выглядит так.
Теорема. Предположим, что существует функция $\lambda(s)$ такая, что произведения $\lambda\ae,\lambda k$ являются монотонными функциями при $s\ge 0$ и

$$\lim_{s\to\infty}\int_0^s\lambda(a)\ae(a)da=\pm\infty,\quad \lim_{s\to\infty}\frac{\lambda(s)k(s)}{\int_0^s\lambda(a)\ae(a)da}=\lim_{s\to\infty}\frac{\lambda(s)\ae(s)}{\int_0^s\lambda(a)\ae(a)da}=0.$$

Тогда кривая $\gamma$ неограничена -- не содержится в шаре.


Доказательство. cм. Замечание в предыдущем посте.

Если положить $ \lambda=1/ \ae$, то получаем следующее

Следствие. Пусть функция $ k(s)/ \ae(s)$ -- монотонна и

$$\lim_{s\to\infty}\frac{k(s)}{s \ae(s)}=0. $$

Тогда кривая $\gamma$ не ограничена.