Решить функциональное уравнение

[Keter]

Найти все непрерывные функции, для которых
$f(xy) = f(x)f(y)$,
$ f(x+y) = f(x)+f(y)$,
где $f(1)$ не равняется нулю.

-- 20.12.2011, 03:21 --

Подставим $y=0$ в $f(x+y)=f(x)+f(y)$ и получим, что $f(0)=0$

При подстановке $y=-x$ имеем $f(0)=f(-x)+f(x)$, то есть $f(-x)=-f(x)$ - функция нечётная.

Что это даёт?

[svv]

Keter писал(а):

$f(x+y) = f(x)+f(y)$

Значит, если $n$ -- натуральное, то $f(n)=nf(1)$. Вы доказали, что $f(-x)=-f(x)$, тогда $f(n)=nf(1)$ верно для всех целых $n$.

Второй шаг -- докажите для всех рациональных $q=\frac n m$, что $f(q)=q f(1)$.

Третий шаг -- воспользуйтесь непрерывностью.

[Keter]

svv в сообщении #517516 писал(а):

Значит, если $n$ -- натуральное, то $f(n)=nf(1)$. Вы доказали, что $f(-x)=-f(x)$, тогда $f(n)=nf(1)$ верно для всех целых $n$.

Почему?

Не могу понять, как это доказать, очевидно же, что $f(x)=x$, а доказательства нет(

[Nemiroff]

Цитата:

Почему?

Что почему?
Почему "Значит, если $n$ -- натуральное, то $f(n)=nf(1)$."? Подставляйте вместо $y$ $x$, $2x$ и так далее по индукции.

[myra_panama]

Здесь можно прочитать

или здесь

[Keter]

Разобрался. Спасибо.