2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Решить функциональное уравнение
Сообщение20.12.2011, 03:08 


29/08/11
1137
Найти все непрерывные функции, для которых
$f(xy) = f(x)f(y)$,
$ f(x+y) = f(x)+f(y)$,
где $f(1)$ не равняется нулю.

-- 20.12.2011, 03:21 --

Подставим $y=0$ в $f(x+y)=f(x)+f(y)$ и получим, что $f(0)=0$

При подстановке $y=-x$ имеем $f(0)=f(-x)+f(x)$, то есть $f(-x)=-f(x)$ - функция нечётная.

Что это даёт?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти функции
Сообщение20.12.2011, 03:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10836
Crna Gora
Keter писал(а):
$f(x+y) = f(x)+f(y)$
Значит, если $n$ -- натуральное, то $f(n)=nf(1)$. Вы доказали, что $f(-x)=-f(x)$, тогда $f(n)=nf(1)$ верно для всех целых $n$.

Второй шаг -- докажите для всех рациональных $q=\frac n m$, что $f(q)=q f(1)$.

Третий шаг -- воспользуйтесь непрерывностью.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти функции
Сообщение20.12.2011, 03:37 


29/08/11
1137
svv в сообщении #517516 писал(а):
Значит, если $n$ -- натуральное, то $f(n)=nf(1)$. Вы доказали, что $f(-x)=-f(x)$, тогда $f(n)=nf(1)$ верно для всех целых $n$.


Почему?

Не могу понять, как это доказать, очевидно же, что $f(x)=x$, а доказательства нет(

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти функции
Сообщение20.12.2011, 04:43 
Заслуженный участник


20/07/09
4026
МФТИ ФУПМ
Цитата:
Почему?

Что почему?
Почему "Значит, если $n$ -- натуральное, то $f(n)=nf(1)$."? Подставляйте вместо $y$ $x$, $2x$ и так далее по индукции.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти функции
Сообщение20.12.2011, 05:08 


19/01/11
718
Здесь можно прочитать

или здесь

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти функции
Сообщение20.12.2011, 11:59 


29/08/11
1137
Разобрался. Спасибо.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group