Уравнения математической физики. Смешанная задача

[Anti]

Доброе время суток.
Возникли проблемы с решением данного уравнения (Владимиров - Сборник задач по уравнениям мат физики № 20.16.4)
u_{tt}-7u_t=u_{xx}+2u_x-2t-7x-e^{-x}\sin 3x, x\in (0;\pi )
u(0,t)=0
u(\pi ,t)=\pi t
u(x,0)=0
u_t(x,0)=x

Известен ответ: u(x,t)=xt+( \frac {1} {10} -\frac{1}{6}e^{2t}+\frac{1}{15}e^{5t} )e^{-x}\sin 3x

(Оффтоп)

тут неправильно работает интерпретатор формул, причём только на этом сайте!!

Мои действия:
Вводим замену u=v+xt
Получаем v_{tt}-7(v_t+x)=v_{xx}+2(v_x+t)-2t-7x-e^{-x}\sin 3x
в результате начальные и граничные условия занулились

Смотрю в ответ и делаю вывод, что решение надо искать в виде f(t)e^{-x}\sin 3x
Подставляю в уравнение, сокращаю что удаётся, в итоге остаётся
f''(t)\sin 3x-7f'(t)\sin 3x=f(t)(-10\cos 3x)+\sin 3x
Делю всё на sin 3x, в итоге получается диффур
f(t)''-7f(t)'+10f(t) \cot 3x=1
Казалось бы всё замечательно и хорошо, но котангенс принимает на указанном интервале значения от минус до плюс бесконечности и диффур не имеет однозначного решения (то ли собственные числа больше, то ли меньше нуля). Подскажите, как выбраться из этой ловушки. :wall:
Вариант рассмотреть только только положительные числа не подходит, ибо нет обоснования, почему именно положительные.

[Nemiroff]

Anti в сообщении #517508 писал(а):

(Оффтоп)

тут неправильно работает интерпретатор формул, причём только на этом сайте!!

topic183.html
Первый пост.