Объем параллелепипеда и определитель Грама

[_Student]

Добрый вечер всем!

Подскажите, пожалуйста, кто-нибудь знает, как доказать следующее:
Определитель Грама системы $n$ векторов равен квадрату $n$-мерного объёма параллелепипеда, натянутого на эти векторы.
Или может книжки посоветуете, где ооочень конкретно изложено доказательство?

[ewert]

Это тут на форуме много раз уж ходило, воспользуйтесь поиском по форуму. В принципе же, например, так: для ортогональной системы координат это достаточно банально (и, более того, сводится к формальному определению объёма), а дальше убедитесь в том, что обе части равенства изменяются одинаковым образом при произвольных линейных заменах координат.

Да, пардон, я саберрировал. Все эти заморочки нужны только для подсчёта не энмерного объёма, а чего-либо типа площади, длины и т.д. Для полноразмерного же объёма всё совсем тривиально. В этом случае матрица Грама -- это матрица вида $A^{{}T}A$ (где матрица $A$ задаёт преобразование координат) и, соответственно, определитель матрицы Грама -- это квадрат определителя матрицы $A$. Ну а уж что абсолютная величина последнего определителя есть объём -- это уж святое.

[Padawan]

Можно без координат доказать. По индукции. Проверьте, что определитель не изменится при добавлении к последнему вектору линейной комбинации предыдущих векторов. Дальше эту линейную комбинацию можно подобрать так, что $r'_n=r_n+\alpha_1r_1+\ldots+\alpha_{n-1}r_{n-1}$ будет ортогонален подпространству, порожденному векторами $r_1,\ldots,r_{n-1}$ (в случае линейной независимости исходной системы). Получится $\Gamma_n=\Gamma_{n-1} |r'_n|^2$. -- объем равен произведению площади основания на высоту.

[_Student]

ewert, ага, понятно. А то, что объем равен определителю матрицы, составленной из координат векторов, это ведь по определению объема, так?

Padawan, нужен как раз способ с координатами)

[ewert]

_Student в сообщении #517416 писал(а):

А то, что объем равен определителю матрицы, составленной из координат векторов, это ведь по определению объема, так?

Да нет, не совсем так. Т.е. чьему-то сердцу, не исключено,любезнее и так. Но вообще-то объём стандартно определяется только на прямоугольных параллелепипедах, и тогда что он есть определитель -- это уже теорема.

В конце концов -- это дело вкуса. Кому-то приятнее задать объём изначально абстрактно-инвариантно и потом с радостью убедиться в том, что он -- и впрямь вот этот самый наш, воистину человеческий объём и есть. Ну а кому-то наоборот: определить его по-человечески, и потом с не меньшим восторгом обнаружить его инвариантность. Дело вкуса.