Собственно вопрос: правда ли, что
![$\forall b_i\in\mathbb{Z}$ $\forall b_i\in\mathbb{Z}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/7/d/a7d62068485e9a00962d3d5b05855c8682.png)
?
Мне кажется это почти очевидным, но строго доказать это я не могу.
Правдой является даже более сильное утверждение: если
несократимая дробь
![$\frac{p}q$ $\frac{p}q$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/3/7/737efc61f42bd6cc1962026a57aca7b582.png)
есть корень многочлена
![$a_0x^n+a_1x^{n-1}+\ldots+\ldots a_{n-1}x+a_n$ $a_0x^n+a_1x^{n-1}+\ldots+\ldots a_{n-1}x+a_n$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/6/5/765ffe63297f439db394813b01ef31b082.png)
, то частное от деления
![$\frac{a_0x^n+a_1x^{n-1}+\ldots+\ldots a_{n-1}x+a_n}{qx-p}$ $\frac{a_0x^n+a_1x^{n-1}+\ldots+\ldots a_{n-1}x+a_n}{qx-p}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/e/b/6eb590e3c26a2520256c6456b9d5049782.png)
есть многочлен с именно целыми коэффициентами.
Причина проста. Поскольку, как известно, знаменатель
![$q$ $q$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/5/c/d5c18a8ca1894fd3a7d25f242cbe889082.png)
долен быть делителем коэффициента
![$a_0$ $a_0$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/0/7/007094eee0f16d09ce121fc2ba8e710782.png)
, эту дробь можно представить как
![$b_0x^{n-1}+\frac{\widetilde a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+\ldots+\ldots a_{n-1}x+a_n}{qx-p}$ $b_0x^{n-1}+\frac{\widetilde a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+\ldots+\ldots a_{n-1}x+a_n}{qx-p}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/7/1/971c7a75e6a6123508cd45250700702c82.png)
, где
![$b_0=\frac{a_0}{q}$ $b_0=\frac{a_0}{q}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/7/5/b75d924fb6f88755d0e61fc381588fdb82.png)
и
![$\widetilde a_1=a_1+b_0p$ $\widetilde a_1=a_1+b_0p$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/3/b/b3be0cda760c3a141980684e7750700b82.png)
-- целые, т.е. в числителе стоит многочлен тоже с целыми коэффициентами, и он по-прежнему делится на знаменатель нацело. Тем самым доказан индукционный переход: если утверждение верно для любого многочлена степени
![$(n-1)$ $(n-1)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/d/1/0d1f34c830dc60d4f09b8b49b25af89f82.png)
, то оно верно и для любого многочлена степени
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
. Ну а база индукции (например, при
![$n=1$ $n=1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/d/2/3d2be9e2108301e9097fa4bc5104664182.png)
) тривиальна.