2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Полупростые числа
Сообщение18.12.2011, 19:28 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Полупростым числом называется натуральное число, имеющее ровно 2 простых делителя (не обязательно различных). Например, числа 4 и 6 - полупростые.

Найти все такие пары полупростых чисел $(a, b)$, что $a+b=(a-b)^2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Полупростые числа
Сообщение18.12.2011, 20:41 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5710
Обозначим $a-b=t$. Тогда $a+b=t^2$ и соответственно $a=\frac{t^2+t}{2}=\frac{t(t+1)}{2}$ и $b=\frac{t^2-t}{2}=\frac{t(t-1)}{2}$. Нетрудно убедиться, что $t>3$. Рассмотрим 2 случая:
  • Если $t$ - четно, то $t-1$, $\frac{t}{2}$ и $t+1$ - простые. Так как одно из них делится на 3, то это число в точности равно 3. Отсюда $t=4$ или $t=6$.
  • Если $t$ - нечетно, то $\frac{t-1}{2}$, $t$ и $\frac{t+1}{2}$ - простые. Откуда $t=5$.
Итак, решениями (с точностью до перестановки элементов) являются пары $(10,6)$, $(21,15)$ и $(15,10)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Полупростые числа
Сообщение18.12.2011, 21:16 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
maxal в сообщении #516962 писал(а):
Обозначим $a-b=t$. Тогда $a+b=t^2$ и соответственно $a=\frac{t^2+t}{2}=\frac{t(t+1)}{2}$ и $b=\frac{t^2-t}{2}=\frac{t(t-1)}{2}$. Нетрудно убедиться, что $t>3$. Рассмотрим 2 случая:
  • Если $t$ - четно, то $t-1$, $\frac{t}{2}$ и $t+1$ - простые. Так как одно из них делится на 3, то это число в точности равно 3. Отсюда $t=4$ или $t=6$.
  • Если $t$ - нечетно, то $\frac{t-1}{2}$, $t$ и $\frac{t+1}{2}$ - простые. Откуда $t=5$.
Итак, решениями (с точностью до перестановки элементов) являются пары $(10,6)$, $(21,15)$ и $(15,10)$.

8-)
Хотелось бы обобщить до почти простых порядка k.

(Почти простым (almost prime) числом порядка k называется натуральное число, имеющее ровно k простых делителей (не обязательно различных). Простые числа являются частным случаем почти простых.
Например, 11 - почти простое первого порядка, 4 и 6 - второго, 27 и 12 - третьего.)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: drzewo


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group