Полупростые числа

[Ktina]

Полупростым числом называется натуральное число, имеющее ровно 2 простых делителя (не обязательно различных). Например, числа 4 и 6 - полупростые.

Найти все такие пары полупростых чисел $(a, b)$, что $a+b=(a-b)^2$

[maxal]

Обозначим $a-b=t$. Тогда $a+b=t^2$ и соответственно $a=\frac{t^2+t}{2}=\frac{t(t+1)}{2}$ и $b=\frac{t^2-t}{2}=\frac{t(t-1)}{2}$. Нетрудно убедиться, что $t>3$. Рассмотрим 2 случая:

• Если $t$ - четно, то $t-1$, $\frac{t}{2}$ и $t+1$ - простые. Так как одно из них делится на 3, то это число в точности равно 3. Отсюда $t=4$ или $t=6$.
• Если $t$ - нечетно, то $\frac{t-1}{2}$, $t$ и $\frac{t+1}{2}$ - простые. Откуда $t=5$.

Итак, решениями (с точностью до перестановки элементов) являются пары $(10,6)$, $(21,15)$ и $(15,10)$.

[Ktina]

maxal в сообщении #516962 писал(а):

Обозначим $a-b=t$. Тогда $a+b=t^2$ и соответственно $a=\frac{t^2+t}{2}=\frac{t(t+1)}{2}$ и $b=\frac{t^2-t}{2}=\frac{t(t-1)}{2}$. Нетрудно убедиться, что $t>3$. Рассмотрим 2 случая:

• Если $t$ - четно, то $t-1$, $\frac{t}{2}$ и $t+1$ - простые. Так как одно из них делится на 3, то это число в точности равно 3. Отсюда $t=4$ или $t=6$.
• Если $t$ - нечетно, то $\frac{t-1}{2}$, $t$ и $\frac{t+1}{2}$ - простые. Откуда $t=5$.

Итак, решениями (с точностью до перестановки элементов) являются пары $(10,6)$, $(21,15)$ и $(15,10)$.

Хотелось бы обобщить до почти простых порядка k.

(Почти простым (almost prime) числом порядка k называется натуральное число, имеющее ровно k простых делителей (не обязательно различных). Простые числа являются частным случаем почти простых.
Например, 11 - почти простое первого порядка, 4 и 6 - второго, 27 и 12 - третьего.)