Большая теорема Ферма.Маленькое доказательство

PAV · 31.01.2007, 11:59

Отлично. Но тогда вывод о том, что $k^5$ делится на $(z+k)$ неверен, так как он основан на равенстве (7) для исходной тройки $(x,y,z)$ .

Валерий2 · 31.01.2007, 14:34

Посмотрите, пожалуйста, ещё раз сообщение 10:53:32

PAV · 31.01.2007, 14:48

Вы предлагаете повторить рассуждения, начиная с (3), подставив в них вместо $(x,y,z)$ величины $(x_1,y_1,z_1)$ , где $x_1=x^2$ , $y_1=y^2$ , $z_1=z^2$ . Хорошо, тогда во всех формулах (3)-(8) у переменных появляется индекс 1, но в формуле (9) по-прежнему фигурируют исходные переменные $(x,y,z)$ . Поэтому далее рассуждения неправильные, когда Вы пытаетесь одновременно использовать и равенство (9), и (8) с одинаковыми переменными.

Еще раз повторяю, что использовать одновременно все равенства (3)-(8) и (9) с одинаковыми переменными невозможно.

Еще раз повторяю, что из предположения, что существуют решения равенства (1) для показателя $n=5$ , не следует, что можно найти решение, все элементы которого были бы точными квадратами, что равносильно существованию решения для $n=10$ .

Еще раз повторяю, что если бы рассуждение было бы верно, то так как для $n=2$ решения существуют, то данный метод "доказывает" существование решения для любого четного $n$ .

Больше я это разжевывать не буду. Вашу ошибку все отметили. Хотите - принимайте это дело, не хотите - можете считать, что теорему Ферма доказали. Это Ваше дело.

Валерий2 · 31.01.2007, 15:02

Единственное, что могу Вам посоветовать-прочитать §1 книги М.М.Постникова, указанной в сообщении 10:53:32.
Спасибо за участие.

Валерий2 · 05.02.2007, 09:42

Уважаемый PAV!
Позволю себе ещё раз "разжевать" (как Вы выражаетесь) Вам то, что оказалось для Вас столь трудным.
Все рассуждения строятся на возведении обеих частей уравнения (3) в степени 5,10,20,2.
Возвращаюсь к алгоритму от 31.01.2007 (10:53:32):
1.возведём обе части уравнения (3) в 10 степень;
2.предполагаем, что $x^{10} + y^{10} = z^{10}$ ;
3.представляем $x^{10} = (x^2 )^5 ,y^{10} = (y^2 )^5 ,z^{10} = (z^2 )^5$ ;
4.обозначим $x^2$ через $x_1$ , $y^2$ через $y_1$ , $z^2$ через $z_1$ ;
5.возвращаемся к (3): $x_1 + y_1 = z_1 + k_1$ . Именно в таком виде, а не в каком-либо другом (некоторые оппоненты предполагают $x_1 + y_1 = z_1 + k$ или $x_1 + y_1 = z_1$ , что противоречит условиям, и, исходя из этого заблуждения, строят на этом свои доказательства ошибочности моих выкладок);
Нетрудно заметить, что $k_1 = k^2 - 2(xy - zk)$ (см. PS): $x^2 + y^2 = z^2 + k^2 - 2(xy - zk)$ .
Видим, что никаких других чисел, кроме x,y,z,к , в доказательстве нет.
Аналогично, полагая в (9) $x^{10} = (x^5 )^2 ,y^{10} = (y^5 )^2 ,z^{10} = (z^5 )^2$ , при выполнении условия $x^2 + y^2 = z^2$ приходим к выражению (6) в моём доказательстве(заметьте, не $x^5 + y^5 = z^5$ ).
В доказательстве я нигде не утвержал, что при $x^5 + y^5 = z^5$ одновременно и $x^2 + y^2 = z^2$ .
Таким образом, надеюсь. что убедил Вас в верности утверждения, что т.к. выражение (7) верно для n=5, то оно верно и для любого показателя tn, кратного n: 10,20...
Поэтому теорему Ферма и доказывают для простых показателей $n \ge 3$ и для $n = 4$ , что и сделано в предлагаемом мной доказательстве.

PAV · 05.02.2007, 12:32

Валерий2 писал(а):

Таким образом, надеюсь. что убедил Вас в верности утверждения, что т.к. выражение (7) верно для n=5, то оно верно и для любого показателя tn, кратного n: 10,20...
Поэтому теорему Ферма и доказывают для простых показателей $n \ge 3$ и для $n = 4$ , что и сделано в предлагаемом мной доказательстве.

Вы фундаментально ошибаетесь. Теорема Ферма утверждает, что равенство (1) не имеет решения. Из утверждения, что нет решений для $n$ действительно следует, что нет решений для любого показателя $tn$ . Но Вы пытаетесь показать обратную ипликацию, что из существования решения для $n$ вытекает существование решения для $tn$ . Это вообще неверно. Если у меня позже будет время, то я, может быть, и погляжу на предлагаемый вывод.

Напоминаю простейший факт из логики: если из утверждения $A$ вытекает утверждение $B$ , то это не доказывает, что из отрицания $A$ следует отрицание $B$ .

Добавлено спустя 24 минуты 39 секунд:

Собственно, сразу бросается в глаза пункт 2, в котором Вы предполагаете то, что хотите доказать. Как это понимать?

Забудем пока про собственно теорему Ферма. Рассмотрим Ваше локальное утверждение о том, что если уравнение $x^n+y^n=z^n$ имеет решения при $n=5$ , то отсюда вытекает, что оно имеет решения при $n=10$ . Вот так и доказывайте: предположите, что при $n=5$ решения есть и покажите, как отсюда следует, что при $n=10$ решения есть. А не предполагайте это.

Валерий2 · 05.02.2007, 15:17

Вы непоследовательны:для n=10 я не могу предположить равенство, а для n=5 я должен это предположить. В чём разница-то?

PAV · 05.02.2007, 15:26

Вы можете предположить равенство для $n=10$ . Но тогда, получив противоречие, не пишите, что доказали теорему Ферма для показателя $n=5$ .

В общем, одно из двух. Или Вы доказываете теорему для показателя $n=5$ - тогда Вы можете исходить только из предположения о том, что есть решения для этого показателя, а существование решения для $n=10$ должны выводить.

Либо Вы можете сразу исходить из предположения о том, что существуют решения для $n=10$ . Но тогда полученное противоречие докажет теорему Ферма именно для этого показателя, а не для $5$ .

И вообще, мне казалось, что Вы хотите убедить меня в том, что если решения существуют для $n=5$ , то существуют и для $n=10$ . Или нет? Вы просто сформулируйте четко, какое именно утверждение хотите доказывать, и будем обсуждать именно это утверждение.

Валерий2 · 05.02.2007, 16:18

Уже не в первый раз пишу, если уравнение $x^{10} + y^{10} = z^{10}$ имеет целочисленное решение x,y,z, то уравнение $(x^2 )^5 + (y^2 )^5 = (z^2 )^5$ имеет целочисленное решение $x^2$ , $y^2$ , $z^2$ для n=5.В чём Вы видите противоречие?
А ведь это одно и то же уравнение.Или есть какие-то сомнения?

PAV · 05.02.2007, 16:29

Это Вы пишете в первый раз. До сих пор, начиная с первого поста, Вы неоднократно писали следующее: если выполнено равенство (7) (утверждающее, что $x^5+y^5=z^5$ ), то выполнено равенство и для десятой степени.

К последнему же утверждению вопросов не имею. Естественно, если есть решения для $n=10$ , то есть и решения для $n=5$ .

Итак, Вы все-таки сводите к противоречию равенство $x^{10}+y^{10}=z^{10}$ , т.е. будете доказывать теорему Ферма для степени 10. Правильно?

bot · 05.02.2007, 16:36

И что у Вас получилось?
Если уравнение $x^{10} + y^{10} = z^{10}$ имеет целочисленное решение $x,y,z$ ,
то уравнение $(x^2 )^5 + (y^2 )^5 = (z^2 )^5$ , то есть оно же (!) имеет целочисленное решение $x^2, y^2,z^2$ .

А Вы напишите вот так:

Если уравнение $x^{10} + y^{10} = z^{10}$ имеет целочисленное решение $a,b,c$ , то уравнение $x^5 + y^5 = z^5$ , имеет целочисленное решение $a^2, b^2,c^2$ ,

Тогда никто Вам и возражать не станет. Вот только из этой банальности Вы ничего не получите - об этом Вам PAV и толкует.

Валерий2 · 05.02.2007, 16:39

Странно, Вы так увлеклись опровержениями, что забыли непосредственно о доказательстве теоремы. А ведь я доказал, что для $n = 10$ , (а значит, и для $n = 5$ ) не существует попарно взаимно простых x,y,z, удовлетворяющих уравнению (1).

PAV · 05.02.2007, 16:43

Валерий2 писал(а):

Странно, Вы так увлеклись опровержениями, что забыли непосредственно о доказательстве теоремы. А ведь я доказал, что для $n = 10$ , (а значит, и для $n = 5$ ) не существует попарно взаимно простых x,y,z, удовлетворяющих уравнению (1).

Разберемся (может быть), что Вы там доказали...

Валерий2 · 05.02.2007, 16:45

Уважаемый bot!
Прочтите всё сказанное выше. Ваши a,b,c- совершенно не в тему

PAV · 05.02.2007, 16:47

Стоп. Что значит "а значит, и для $n=5$ "... Из того, что не существует решений для $n=10$ не следует, что не существует решений для $n=5$ .

Не надоело нас всех путать? :evil:

Научный форум dxdy

Большая теорема Ферма.Маленькое доказательство