Формула Тейлора от сложной функции

[not_not_not_0]

Задача: Разложить в $x_o = 4 y(x) = \ln(\sqrt{5 + x}+3)$ до $o((x-4)^n)$

Помогите разобраться, как раскладывать в ряд Тейлора подобные сложные функции. По постановке задания ясно, что ответ должен представлять собой красивую сумму, но у меня получается бред.

Первый шаг очевиден: $t = x - 4$ и функция превращается в $y(t) = \ln(\sqrt{9 + t} + 3), t \rightarrow 0$. Но что делать дальше?
1) Сам логарифм никак не преобразовать.
2) С аргументом тоже ничего не поделать. Хоть что-то даёт только домножение на сопряжённое, чтобы получить разность квадратов, но это только ухудшает положение.
3) Пытался продифференцировать, но производная в ряд Тейлора раскладывается ещё хуже, чем сама функция.
4) Пара замен t = x + 4, z =$\sqrt{t+9} - 3$ позволяет вынести шестёрку из аргумента и перейти к $\ln(6) + \ln(1 + \frac{u}{6})$, что ведёт к $\ln(6) + \sum^n_{k=1}(\frac{(-1)^{k-1}(\sqrt{1 + \frac{t}{9}} - 1)^k}{2^kk})$. Но если разложить корень в числителе, получится k-тая степень суммы под суммой, что совсем не хорошо.
5) По формуле Фаа-ди-Бруно получается неудобоваримая махина.
6) C мнимыми аргументами и интегралами тем более получается монстр.

[bot]

not_not_not_0 в сообщении #516736 писал(а):

По формуле Фаа-ди-Бруно

Какие имена знаете ...

А вот такие разложения Вам известны?

$(1+x)^\mu=1+\frac{\mu }{1!}x+\frac{\mu (\mu-1)}{2!}x^2+\frac{\mu (\mu-1) (\mu-2)}{3!}x^3 + \frac{\mu (\mu-1) (\mu-2)(\mu-3)}{4!}x^4+ \ldots$

$\ln (1+x)=\frac{x}{1}-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\ldots$

Других Вам здесь и не понадобится.

[not_not_not_0]

Цитата:

А вот такие разложения Вам известны?
...
Других Вам здесь и не понадобится.

Я не знаю. Как бы я их не применял всё время получается либо сумма сумм, либо их произведение, как, например, в пункте 4. Дайте, пожалуйста, хотя бы наводку как их применить в этом случае.

[ИСН]

По постановке задания ясно, что ответ должен представлять собой сумму из первого, второго и третьего слагаемых. Красоты никто не обещал. Общей формулы для производной порядка n (Вы её ищете, что ли?) никто не требовал. Вот и всё.

[Алексей К.]

not_not_not_0 в сообщении #516751 писал(а):

Дайте, пожалуйста, хотя бы наводку как их применить в этом случае.

Например, $\sqrt{9+t}=\sqrt{9\left(1+\frac{t}9\right)}=3\left(1+\frac{t}9\right)^{1/2}=\ldots$ Выпишите сколько нужно, дальше будет типа $\ln(C+f(t))$; аналогично.

[bot]

Вы верно начали, только сразу пошли болотами. После Вашей замены $x=t+4$ получаем

$\ln(\sqrt{5+x}+3)=\ln 6 + \ln\left(1+\frac12\left(\sqrt{1+t/9}-1\right)\right)=\ldots $

[not_not_not_0]

Алексей К, bot,

Разумеется, пробовал. Получается:

$\ln(1 + \frac{1}{2}(\sqrt{1 + \frac{1}{9}} - 1)) = \sum^n_{k=1}\frac{(-1)^{k-1}}{2^kk}(\sqrt{1 + \frac{1}{9}} - 1)^k = \sum^n_{k=1}\frac{(-1)^{k-1}}{2^kk}(\sum^n_{j=1}\frac{(-1)^{j-1}(2j-3)!!}{2^j9^jj!}t^j)^k$

И степень суммы под суммой. Пытался перегруппировать члены, но результат страшненький.


ИСН

Либо я где-то не так выразился, либо вы меня не поняли.

Цитата:

По постановке задания ясно, что ответ должен представлять собой сумму из первого, второго и третьего слагаемых.

То было бы, если бы просили разложить до $o(x-4)^3$, но ведь задача состоит в разложении до произвольного n-ного члена, значит и решение будет вида $y(x) = \sum^n_{k=0}a_0(x-4)^k + o((x-4)^n)$, возможно, с несколькими первыми членами вынесенными из суммы. Если бы под логарифмом было бы что-то нормальное, то $a_k = \frac{y'(x)}{k!}$, но ведь в аргументе корень, который портит все построения.

Цитата:

Красоты никто не обещал.

Технически да, но у меня есть сильное подозрение, что в конце концов всё должно свестись в одинарную сумму элементов, а не в произведение сумм или что-то подобное (все остальные задачи из имеющегося у меня списка сводятся).

Цитата:

Общей формулы для производной порядка n (Вы её ищете, что ли?) никто не требовал.

Верно (тем более, что её вряд ли получится нормально вывести, ибо получаются длинные дроби с корнями). Смысл задачи скорее всего в том, чтобы провести какую-то хитрую замену или преобразование. Но я не вижу таких.

[bot]

not_not_not_0 в сообщении #516768 писал(а):

Пытался перегруппировать члены, но результат страшненький

Да не надо мудрить - надо тупо считать, отбрасывая всё лишнее.
Пример. Разложим $\cos\sin x$ до $x^6$

$\cos\sin x=\cos \left(x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}+o(x^6)\right)=$

$=1-\frac{\left(x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}\right)^2}{2}+\frac{\left(x-\frac{x^3}{6}\right)^4}{24}-\frac{x^6}{720}+o(x^6)=$

$=1-\frac{x^2+\frac{x^6}{36}-\frac{x^4}{3}+\frac{x^6}{60}}{2}+\frac{x^4-\frac{2x^6}{3}}{24}-\frac{x^6}{720}+o(x^6)= \ldots $

[ИСН]

Ох ёлки, туплю: действительно до n-го.
Значит, дифференцировать! Что такого-то?

$$\ln\left(1+\sqrt{1+x}\right)'={1\over2\sqrt{1+x}(1+\sqrt{1+x})}={\sqrt{1+x}-1\over2x\sqrt{1+x}}={1\over2x}\left(1-(1+x)^{-1/2}\right)$$

(да, я в курсе, что у Вас числа немножко другие.)
Бином знаем, ну и всё.

[bot]

Что -то у меня с глазами стало - в стартовом сообщении прочитал, что надо до $o(x-4)^4$ считать.

[ИСН]

Я тоже. Это как в той иллюзии, "Какого цвета лист? - Белый! - Что пьёт корова? - Молоко!"

[not_not_not_0]

Вольтметр мне в цепь... ИСН, спасибо огромное! Теперь я вижу ход решения. Производную я находил, а вот преобразовать её не догадался...