Кривые второго порядка

[Katzchen]

Составить каноническое уравнение и определить тип данной прямой.Найти параметр параболы.Написать формулы,выражающие координаты точки в исходной системе координат через координаты этой же точки в канонической системе координат.
$x^2-2xy+y^2+x+y-4=0$


P.S.:Пыталась составить вроде по правилам,получила параболу,но с уравнением: $y^2=2-1,414x/2 $.Но сказали,что это не каноническое,по-другому,никак не получается(

[AKM]

Я в кривых не особо, но, во-первых, заменять в решениях красивые точные значения типа $\sqrt2$ какими-то фу-приближениями недопустимо.
Во-вторых, Ваша парабола и параболы $y^2=1-\frac{\sqrt2}{2}x,\;y^2=-\frac{\sqrt2}{2}x,\;y^2=-99-\frac{\sqrt2}{2}x$ совершенно одинаковы и отличаются только сдвигом. Какой же из этих вариантов более "каноничен", более прост?

Каноническим принято называть уравнение вида $y^2=2px$. Вроде нигде не указано, что число $p$ должно быть положительно, но, поскольку за ним стоит конкретный геометрический смысл некого расстояния, это предполагается по умолчанию. И этого тоже легко добиться правильным поворотом кривой.

[Katzchen]

То есть,если мы запишем уравнение таким образом:$y^2=2-\frac{\sqrt2}{2}x$,то оно будет являться каноническим и $p=\frac{\sqrt2}{4}$?

[bot]

А Вы пробовали подставить Ваше $p=\frac{\sqrt2}{4}$ в уравнение $y^2=2px$?

[Katzchen]

Каноническое уравнение я взяла,как $y^2=-\frac{\sqrt2}{2}x$.Это соответствует каноническому уравнению параболы:$y^2=-2px$,куда вполне подходит $p=\frac{\sqrt2}{4}$.Вроде всё получается..

-- 18.12.2011, 14:16 --

А вот с пунктом"Написать формулы,выражающие координаты точки в исходной системе координат через координаты этой же точки в канонической системе координат",у меня туго(

[Алексей К.]

Katzchen в сообщении #516748 писал(а):

Это соответствует каноническому уравнению параболы:$y^2=-2px$

Это не каноническое уравнение. Минуса в каноническом нет, и $p>0$. Поверните свою псевдо-каноническую параболу на 180 градусов $(x\to {-x}.\;y\to{-y})$, и получите требуемое.

[bot]

Дык поворочивать мало - она ещё со свободного члена не сдвинулась.

[Алексей К.]

А что касается формул, выражающих координаты, то, наверное, с них следовало начинать. Выписать их с неизвестным сдвигом и поворотом, тупо подставлять и подбирать неизвестные так, чтобы получилась каноничность.

Можно воспользоваться тем, что у Вас там $(x-y)^2+(x+y)-4=0$, но для этого, боюсь, чуть больше опыта надо. Сначала надо научиться делать по-тупому.

-- 18 дек 2011, 16:22:30 --

Я вот теперь в задумчивости: как же Вы тогда задачку эту решали (и местами правильно решили) без этих формул?