Доказать, что число простое

[misha_fm]

Добрый вечер, господа!

Укажите направление, в котором следует двигаться мысли для решения следующей задачи:

Доказать, что если числа $p$ и $8p^2+1$ простые, то число $3p^2+2p+4$ тоже будет простым.

Спасибо!

[Sonic86]

misha_fm в сообщении #516555 писал(а):

если числа $p$ и $8p^2+1$ простые

Условиям такого типа обычно удовлетворяет конечное множество простых (чаще одно). Это простое находится через рассмотрение остатков этих чисел по малому простому модулю. Находите это конечное множество простых $p$ и для них проверяете

misha_fm в сообщении #516555 писал(а):

то число $3p^2+2p+4$ тоже будет простым.

[misha_fm]

Спасибо, покумекаю

-- 17.12.2011, 20:27 --

Решил следующим образом:

известно, что всякое простое число больше 3 представимо в виде $6k+1$. Т.о., для p>3, $p=6k+1$, а $8p^2+1 = 8(6k+1)^2+1=288k^2+96k+9$, что кратно 3. В рассмотрении остались 1, 2 и 3. 1 и 2 не удовлетворяют условиям. Осталась только тройка.

[Someone]

misha_fm в сообщении #516557 писал(а):

известно, что всякое простое число больше 3 представимо в виде $6k+1$.

Нет, конечно. Ещё и $6k-1$ может быть.

[misha_fm]

Точно. Но, к счастью, картину это портит не сильно. Для второго случая рассуждения те же самые.