Алгебраическая система

[bot]

За почти прошедшие сутки Вы не сумели выделить 5 мин, чтобы составить табличку "сложения" смежных классов и табличку истинности предиката?

aswert в сообщении #515765 писал(а):

и еще классы при x>3, только какие?

А ну да - Вы же не знаете сколько их будет этих классов. Ну три одноэлементных класса Вы назвали, а начиная с 4 гомоморфизм их куда отправляет? Вот возьмём 4 и назначим его начальником в своём классе. Перечислите всех его подчинённых.

[aswert]

гомоморфизм отправляет их на $ \infty$, подчиненными будут остальные натуральные числа?

[bot]

Так, итого в фактор-системе всего-то навсего ..., сколько элементов? Составляйте таблички для операции и предиката. Соответствующие определения для этого у Вас есть.

[aswert]

Получается, что в фактор системе 4 элемента, только не пойму как математически записать четвертый элемент.
Если его обозначить {x}, то получится такая таблица?

$$ \begin{vmatrix} +^{\varphi R_\varphi} & \lbrace 1 \rbrace \lbrace 2 \rbrace \lbrace 3 \rbrace \lbrace x \rbrace \\ \\ \lbrace 1 \rbrace & \lbrace 2 \rbrace \lbrace 3 \rbrace \lbrace x \rbrace \lbrace x \rbrace \\ \lbrace 2 \rbrace & \lbrace 3 \rbrace \lbrace x \rbrace \lbrace x \rbrace \lbrace x \rbrace \\ \lbrace 3 \rbrace & \lbrace x \rbrace \lbrace x \rbrace \lbrace x \rbrace \lbrace x \rbrace \\ \lbrace x \rbrace & \lbrace x \rbrace \lbrace x \rbrace \lbrace x \rbrace \lbrace x \rbrace \\ \end{vmatrix} \qquad ​$$​

[bot]

Это таблица сложения в факторе - её элементы я бы обозначил попросту по начальникам в смежных классах 1, 2, 3, 4.
Ещё нужна табличка для предиката. Опять попросту 0/1 - это ложь/истина.

[aswert]

Вот такая таблица для предиката получилась.
$\begin{vmatrix} P^{\varphi R_\varphi} & \lbrace 1 \rbrace \lbrace 2 \rbrace \lbrace 3 \rbrace \lbrace 4 \rbrace \\ \\ \lbrace 1 \rbrace & (1)\, (1) \, (1)\, (1)\\ \lbrace 2 \rbrace & (0)\, (1) \, (1)\, (1)\\ \lbrace 3 \rbrace & (0)\, (0) \, (1)\, (1)\\ \lbrace 4 \rbrace & (0)\, (0) \, (0)\, (1)\\ \end{vmatrix} \qquad$

[bot]

У Вас в факторе получилось $ 1P2 $, почему?

Я не стал вводить нового обозначения для индуцированного предиката, а смежные классы попросту различаю по выбранным в них начальникам, кроме того вместо $(1,2)\in P$ пишу просто $ 1P2 $, подобно тому, как мы пишем $1<2$ вместо $(1,2)\in <$

[aswert]

ведь $(1,2) \not \in P$,в таблице на пересечении 0, у меня получилось $2P1$, т.к. $ 2\ge 1$

[bot]

А у Вас строки/столбцы наоборот, но тогда откуда взялось $2P1$ и при чём здесь $2\geqslant1$? Предикат $P$ у нас как был задан?

[aswert]

x=y+2, я не правильно понял про индуцированный предикат

[bot]

Ну вот этот предикат индуцирует на факторе новый предикат - посмотрите в Вашем источнике, как он это делает.

[aswert]

т.е., например $(3,1) \in P$

[bot]

Вот - есть такое оказывается. Действуйте.

[aswert]

$\begin{vmatrix} P^{\varphi R_\varphi} & \lbrace 1 \rbrace \lbrace 2 \rbrace \lbrace 3 \rbrace \lbrace 4 \rbrace \\ \lbrace 1 \rbrace & (0)\, (0) \, (1)\, (0)\\ \lbrace 2 \rbrace &(0)\, (0) \, (0)\, (1) \\ \lbrace 3 \rbrace & (0)\, (0) \, (0)\, (1)\\ \lbrace 4 \rbrace & (0)\, (0) \, (0)\, (1)\\ \end{vmatrix} \qquad$

[bot]

Вот теперь верно. Вопросы исчерпаны, но можно для зачистки посмотреть ещё два
1) Система естественным образом отображается на фактор. Какой это гомоморфизм - сильный или нет?
2) Гомоморфный образ системы и её фактор по ядру равномощны и можно естественным образом устроить биекцию фактора на гомоморный образ или наоборот. Какая из двух биекций будет гомоморфизмом? Будет ли она изоморфизмом и в каком случае?