Алгебраическая система

[aswert]

Да, там только еще про сильный гомоморфизм, больше ничего нет.О предикатах сказано в определении изоморфизма

[bot]

Ну тогда у Вас пропуск в лекции. Вдобавок к требованиям для операций есть аналогичные требования для предикатов:

$P(x_1, x_2, \ldots , x_n)\Rightarrow P^\varphi(x_1^\varphi, x_2^\varphi, \ldots , x_n^\varphi)$

[aswert]

Понятно,тогда получается, что требование для предикатов не выполняется, например при x=3 y=1

[bot]

Верно - это не гомоморфизм. Расценим это как косячок и исправим $<$ на $\geqslant$

[aswert]

В таком случае:
1) x=y+2 (x>y), при $x \leq 3, y < 3$, $x^ \varphi=x, y^\varphi=y$, значит
$x^ \varphi \geq y^\varphi $ верно
2)x=y+2, при $x>3, y \leq 3$, $x^ \varphi=\infty, y^\varphi=y$, значит
$x^ \varphi \geq y^\varphi $ верно
3)x=y+2, при $x >3, y >3$, $x^ \varphi=\infty, y^\varphi=\infty$, значит
$x^ \varphi \geq y^\varphi $ верно

$P(x_1, x_2, \ldots , x_n)\Rightarrow P^\varphi(x_1^\varphi, x_2^\varphi, \ldots , x_n^\varphi)$ выполняется

[bot]

Ага - теперь гомоморфизм. Что ещё в задаче осталось?

[aswert]

Выяснить сильный ли он, найти конгруенцию и фактор-систему

[bot]

Ну дык чего ждём? Конгруенцию надо найти не абы какую, а, наверно, ядрёную ядерную?

[aswert]

$\varphi$ не является сильным, т.к., предикат $x^ \varphi \geq y^\varphi $ истинен в $\lbrace 1,2,3,\infty \rbrace$ при (x,y)$\in \lbrace (\infty,1),(2,1),(3, 1), (1,1), (2,2), (3,2),( \infty,2),(3,3),(\infty,3) \rbrace$ , возьмем прообраз, например (2,1)=$(2,1)^ \varphi$, но тогда равенство x=y+2 не выполняется.
А вот как искать конгруенцию? Я так понял, что это отношение эквивалентности, для которого выполняется требование:

[bot]

А на этом месте думать не надо - надо знать как определяется ядерная конгруенция $\ker\varphi$ для заданного гомоморфизма $\varphi$.

[aswert]

$\operatorname{ker} \varphi=\lbrace x \in A|\varphi(x)=e_B \rbrace$
это множество элементов группы A, отображающихся в единицу группы B?

[bot]

Забудьте про единицу - это было в группах, а здесь ими и не пахнет, здесь смежные классы не обязаны вычислятся заданием лишь одного смежного класса, они даже мощность одинаковую иметь не обязаны. В группах и кольцах $ \ker\varphi$ - это лишь один смежный класс, а в общем случае нам придётся задавать все классы ... ну, ладно - не буду выжимать, тем более, что это можно просто взять и посмотреть. Вот оно условие, определяющее ядерную конгруенцию:

$$(x,y)\in \ker\varphi \Leftrightarrow x^\varphi = y^\varphi$$

[aswert]

тогда получается, что в ядро будут входить (1,1),(2,2),(3,3) и любые пары (x,y) при x>3 и y>3

[bot]

А пару шагов за раз можете? Какие будут смежные классы и сколько их? Как определятся операция и предикат на этих классах?

[aswert]

Операция определится через таблицу Кэли, а предикат через отношение, смежные классы $\lbrace \lbrace 1\rbrace,\lbrace 2\rbrace,\lbrace 3 \rbrace\rbrace$, и еще классы при x>3, только какие? Может $\lbrace x,x+1 \rbrace$