Решить в целых числах

[Ybogii]

Собственно, решить уравнение в целых числах

$$2^x+3^y=z^2$$

[nnosipov]

Для начала можно заметить, что $x$ можно считать чётным. Дальше перенести $2^x$ в правую часть и разложить как разность квадратов ... В общем, довольно скучная стандартная задача.

[Руст]

Рассмотрим вначале $x=0$. Тогда $y$ нечетное. Одно решение $x=0,y=1, z=2$. Других решений нет, так как $z^2-1=(z-1)(z+1)=3^y$ - оба числа не могут быть степенями тройки.
Если $y=0$, получаем $x=3,z=3$, аналогично других решений нет.
Если $x>0,y>0$, то оба должны быть четными, соответственно $2^{x/2}=2ab, 3^{y/2}=a^2-b^2, z=a^2+b^2$. Отсюда минимальное $b=1$ и $a=2^k$ и $3^{y/2}=2^{2k}-1\to y=2,x=4,z=5.$