2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Решить в целых числах
Сообщение16.12.2011, 16:33 


21/10/11
4
Собственно, решить уравнение в целых числах
$$2^x+3^y=z^2$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить в целых числах
Сообщение16.12.2011, 17:01 
Заслуженный участник


20/12/10
9112
Для начала можно заметить, что $x$ можно считать чётным. Дальше перенести $2^x$ в правую часть и разложить как разность квадратов ... В общем, довольно скучная стандартная задача.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить в целых числах
Сообщение16.12.2011, 17:14 
Заслуженный участник


09/02/06
4401
Москва
Рассмотрим вначале $x=0$. Тогда $y$ нечетное. Одно решение $x=0,y=1, z=2$. Других решений нет, так как $z^2-1=(z-1)(z+1)=3^y$ - оба числа не могут быть степенями тройки.
Если $y=0$, получаем $x=3,z=3$, аналогично других решений нет.
Если $x>0,y>0$, то оба должны быть четными, соответственно $2^{x/2}=2ab, 3^{y/2}=a^2-b^2, z=a^2+b^2$. Отсюда минимальное $b=1$ и $a=2^k$ и $3^{y/2}=2^{2k}-1\to y=2,x=4,z=5.$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group