Найти поле H(x,y,z), если оно известно на оси z

[danon]

Доброго времени суток!
Пытаюсь решить задачку по теорфизу. Все сходится к тому, что мне задано поле $H$ на оси $z$ (причем это поле направлено вдоль этой оси) и на этой оси оно убывает с постоянным градиентом $-h$. Найти радиальную составляющую поля $H$ вне оси $z$.

Есть решение с осевой симметрией. И оно находится легко. А вот как найти решение, которое не обладает осевой симметрией?

Если я правильно понял, в общем виде решение будет удовлетворять уравнениям $\operatorname{rot} H = 0$ и $\operatorname{div} H = 0$.

Но как их решить? Подскажите, пожалуйста.

zhoraster:

При наборе формул используйте ТеХ!

[svv]

danon писал(а):

Если я правильно понял, в общем виде решение будет удовлетворять уравнениям $\operatorname{rot} H = 0$ и $\operatorname{div} H = 0$.

Условие $\operatorname{div} H = 0$ в случае осевой симметрии точно не годится. На оси $z$ Вы описали поведение компоненты $H_z$, из этого следует, что $\frac{\partial H_z}{\partial z}\neq 0$. А в силу осевой симметрии на оси $\frac{\partial H_x}{\partial x}=0$, $\frac{\partial H_y}{\partial y}=0$, но тогда дивергенция отлична от нуля.

Но раз условие $\operatorname{div} H = 0$ не выполняется при осесимметричном поле, тогда непонятно, с чего бы ему вдруг выполняться при произвольном. Вы можете, конечно, задать такие условия, но они ниоткуда не следуют, разве что из физических соображений, типа уравнений Максвелла.

Вообще, произвол слишком велик: из того, что компоненты $H_x, H_y$ равны нулю на оси, определенного их поведения в остальной части пространства Вы не получите.

[danon]

В задаче спрашивают найти радиальную составляющую вектора поля H.
$\frac {\partial H_\varphi }{\partial \varphi} + \frac {\partial H_r }{\partial r} + \frac {\partial H_z }{\partial z} = 0$
Если считать, что поле не зависит от $\varphi$ (вот, что имелось ввиду под осевой симметрией), то получаем, что
$\frac {\partial H_r }{\partial r} = -\frac {\partial H_z }{\partial z} = h$, это в точке (0, 0, z). Верно ли это?
Можем ли мы теперь написать, что из последнего равенства следует, что $H_r(r, z) = h r + C(z)$?

У нас похоже вся группа так сделала (списала) в этой задаче. Не знаю куда смотрел преподаватель, когда проверял. Но от меня он потребовал найти несимметричное решение... Что это значит, я так до конца и не понял. Возможно имеется ввиду следующее:
в каждой плоскости $(x,y,z_0)$ линяя, где модуль $H_r = const$ - эллипс например, а не окружность.

[svv]

Я буду вместо $r$ (сферическая координата) писать $\rho$ (цилиндрическая координата). От Вас этого не требую.

Техническое замечание: дивергенция в цилиндрических координатах выглядит чуть иначе:
$\frac 1 \rho \frac {\partial(\rho H_{\rho})}{\partial \rho}+ \frac {\partial H_z}{\partial z}$
(я предполагаю, что слагаемого с $\varphi$ нет).

danon писал(а):

$\frac {\partial H_r }{\partial r} = -\frac {\partial H_z }{\partial z} = h$

Вот! Вы вплотную подошли к сути неприятности. Рассмотрим поведение компоненты $H_{\rho}$ на оси $Ox$ при малых $x$. Подумайте, и Вы поймете, что при любом ненулевом $h$ поле будет иметь излом при $x=0$, т. е. при прохождении через ось $Oz$ (этого наверняка не допускается).

-- Пт дек 16, 2011 17:03:44 --

Простите, я ошибся.

-- Пт дек 16, 2011 17:06:16 --

Всё, что я написал -- неправильно. Ну, кроме выражения для дивергенции.

[danon]

Так а что же мне делать? Каким вобще образом можно находить частные решение системы

$$\begin{cases} \operatorname{div} H = 0\\ \operatorname{rot} H = 0\\ \end{cases}$$

если задано поле на оси z?..

[svv]

Если $\operatorname{rot}H=0$, то поле потенциально, то есть существует такая скалярная функция $u(\rho, \varphi, z)$, что $H=\operatorname {grad}u$.
Если вдобавок $\operatorname {div}H=0$, то, подставив сюда этот градиент, получим, что $\operatorname {div}\operatorname {grad} u=\Delta u=0$, т.е. $u$ удовлетворяет уравнению Лапласа. Так как $H_z = -hz$ (константу можно убрать сдвигом по $z$), а, с другой стороны, $H_z = \frac{\partial u} {\partial z}$, можно считать, что $u(0, 0, z)= -\frac h 2 z^2$. Буду думать, что делать дальше. Но искать скалярную функцию всё-таки, по-моему, проще, чем векторную.

[_hum_]

svv, так а в чем там загвозка с тем, чтобы воспользовавшись независимостью от угла и тем, что по условию задачи $\frac {\partial H_z}{\partial z} = -h$, в цилиндрической системе из равенства нулю дивергенции получить уравнение:

$$\frac 1 \rho \frac {\partial(\rho H_{\rho})}{\partial \rho} - h = 0,$$

которое уже и решать?

[svv]

danonу требуется какое-то особенное решение (он выше написал), не совпадающее с очевидным -- таково его индивидуальное задание.

[_hum_]

Насколько я себе представляю - ситуация такова:
есть дифф. уравнение. Можно его пытаться напрямую решать, а можно, пользуясь симметриями, сузить класс допустимых решений, не прибегая непосредственно к полной процедуре решения. Соответственно, если никаких симметрий нет, то ничего другого, кроме честного решения уравнений Максвелла с граничными и начальными условиями нет.

-- Пт дек 16, 2011 21:39:53 --

Как вариант, возможно, имелось в виду, привести пример не обладающего осевой симметрией поля $\mathbf{H}$, удовлетворяющего условиям $\partial H_z/ \partial z = -h, \nabla \mathbf{H} = 0, \nabla \times \mathbf{H} = 0.$

[svv]

Осесимметричное решение: $H_{\rho}=\frac 1 2 h\rho, \; H_z=-hz$, потенциал $u=\frac{h\rho^2}{4}-\frac{hz^2}{2}$.
Неосесимметричное решение: $H_x=hx, \; H_z=-hz$, потенциал $u=\frac{hx^2}2-\frac{hz^2}2$.

Потенциалы привожу потому, что мне самому они помогали в поиске, кто-то другой найдет и без них.
Возможны и другие решения.

[_hum_]

Все же с потенциалами наверное слишком затратно. Ротор нулевой, значит, должно $\partial H_i/ \partial x_j = \partial H_j/ \partial x_i, i \neq j, i = 1,..,3$. Дивергенция нулевая, и по условию $\partial H_3/ \partial x_3 = -h$, значит, $\partial H_1/\partial x_1 + \partial H_2/\partial x_2 = h$. Ну и все. Тут уже подбором легко справиться. Например, взять $\mathbf{H} = h(x/2, y/2, -z)$.

[danon]

_hum_ в сообщении #516330 писал(а):

Все же с потенциалами наверное слишком затратно. Ротор нулевой, значит, должно $\partial H_i/ \partial x_j = \partial H_j/ \partial x_i, i \neq j, i = 1,..,3$. Дивергенция нулевая, и по условию $\partial H_3/ \partial x_3 = -h$, значит, $\partial H_1/\partial x_1 + \partial H_2/\partial x_2 = h$. Ну и все. Тут уже подбором легко справиться. Например, взять $\mathbf{H} = h(x/2, y/2, -z)$.

Последнее ведь верно только на оси, т.е. при $x=0, y=0$... Или в окрестности оси?

-- 17.12.2011, 01:17 --

Так, вроде все ОК. Приведенные решение удовлетворяют задаче.
Спасибо, ребята!