Вы зря иронизируете. Я ранее тоже не знал. Тем не менее такая формула есть. Её вывел Меллин в начале 20 века. Пишется ответ в виде кратного явного ряда, коэффициенты которого зависят всего лишь от гамма-функций от коэффициентов (гипергеометрический ряд Горна). Там единственное что ещё доделывают-это ТОЧНУЮ область сходимости этого ряда (хотя там многое сделал и сам Горн, и есть специальная параметризация Капранова и всякие другие дела). Кстати, для решения этой задачи Меллин придумал преобразование Меллина. Потому что корни удовлетворяют дифференциальным уравнениям простого вида относительно коэффициентов, вот он эти дифуры пр. Меллина и решил. А переходя от образа к оригиналам взял вычетами свой интеграл Меллина, записал ответ в виде ряда по гамма функциям, предвосхитив знаменитую в будущем теорему Слейтер-Маричева, где это проделано в общем случае. На которой основаны кстати книги Маричева по вычислению интегралов, а также созданные им алгоритмы интегрирования МАТЕМАТИКИ.
Есть целые школы, где этим занимаются. У нас-это школа чл.-корр.РАН Циха в Красноярске, им это нужно для изучения своих амёб в многомерном КП. Занимаются шведы, но они ведут истоки от своих шведских математиков, конкурентов Меллина, а его никогда не упоминают-Меллин был ярым антишведским националистом.
Для трёхчленного уравнения 5 степени (а другие к нему сводятся классическими преобразованиями)-есть формула в виде однократного ряда, просто функции
с явными парметрами. Следует в две строки из формулы обращения Лагранжа, была известна в начале 19 века. Моё мнение-классики уровня Эйлера её и ранее знали, поэтому данной задачей и не занимались, но это моё мнение. Или уравнение 5 степени трёхчленное можно через функцию Ламберта решить-это тот же гипергеометрический по типу ряд. Для 6 степени есть явная формула через
. Есть работы, где выложены программы, которые проделывают нужные символьные вычисления с примерами. Для трёхчленного 10-й степени и любой тоже явные формулы есть, но в двух последних случаях я не знаю, что к этой форме можно свести любое уравнение 6 или 10 степени, как для 5, вряд ли конечно. Но для этих общих случаев никто саму формулу Меллина не отменял. Кстати этой тематикой (явное решение уравнений высоких степеней через гипергеометрию) занимался один из дореволюционных ректоров МГУ Лахтин, у него есть две книги по теме, давно ищу, вот бы кто помог...
А так как в Соловьёве изложен метод через тета-функции с нерешаемым явно модулярным уравнением-это теперь только историческую ценность имеет, для аналитика-это апоферз маразма, если на него как на реальный метод получения явных формул смотреть. Кстати, ни разу не видел решённого этим методом до конца ни одного уравнения. Хотя есть в школе Циха такой Женя Михалкин, он получил результаты по относительно явному решению модулярных уравнений, как бы скрещивая классический метод тета-функций с Меллином.
Такие дела. Если интересно-пишите в личку, я могу дать и нормальный адрес. Сам я этим не занимаюсь, но у меня есть подборка основных работ по этой тематике, я её уже двум наверное десяткам коллег отсылал, которые тоже были заворожены и запуганы алгебраистами в данном вопросе. А всё не так уж плохо.
Да, это любопытно.
, в том числе по алгебраическим уравнениям высших степеней.
