Алгебраическое уравнение, 5-ая степень, модули

[Sonic86]

sergei1961 в сообщении #479341 писал(а):

Методом Ньютона-наверное согласен, хотя голова вечером уже плохо варит. Что можно выписать явно ряд для вычисления того же корня -имеется в виду полностью, с указанием явной формулы для общего члена- методом дихотомии, то не согласен, даже для корня. Нельзя. Только тот кто проделает бесконечное число вычислений, сможет этот ряд предъявить. Мы, люди, не сможем.

Ну, в общем, я думаю всем все теперь понятно
Или Вам было принципиально важно утверждать, что есть именно ряд, а не, скажем, предел? (хотя предел легко преобразовать в ряд...)

[sergei1961]

А явный ряд для решения этой задачи-разве это плохо или для чего-то недостаточно? И не замечательно, что он есть?

[Коровьев]

gris в сообщении #479245 писал(а):

Но, возможно, тут скрыта какая-то хитрость.

Есть, только уж больно явная.

(Оффтоп)

1)$x^5 - 6x^2 + 9x - 6=x^5 - 2x^3 + 6x^2 - 13x + 6$

$2x^3 - 12x^2 +22x-12=0$

$x^3 - 6x^2 +11x-6=0$


2)$2x^5 - 6x^2 + 9x - 6=-x^5 + 2x^3 - 6x^2 +13x - 6$

$2x^5 -2x^3 -4x=0$

$x^4 -x^2 -2=0$

[Sonic86]

(Оффтоп)

sergei1961 в сообщении #479348 писал(а):

А явный ряд для решения этой задачи-разве это плохо или для чего-то недостаточно? И не замечательно, что он есть?

Нет, замечательно конечно Я просто отреагировал на слова о том, что "алгебраисты всех запугали" - странно это очень прозвучало. алгебра никогда матану не мешала.

[Евгений Машеров]

0. Я прошу прощения за краткость и безапелляционность моей фразы "формулы для решения нет". Она верна или неверна в зависимости от уточнения вопроса. И, уточнив его по своему разумению, я, возможно, ошибся. Хотя полагаю, что был прав.
Есть по крайней мере две трактовки вопроса, в которых это утверждение верно, и две, в которых оно ложно.
а. Есть ли формула в радикалах для корней, подобная формулам для 3-й и 4-й степеней? - Нет.
б. Есть ли явная формула вычисления корней 5-й и выше степеней, опирающаяся на сведения школьника или первокурсника? - Нет (хотя я не поручусь за все школы в будущем...).
в. Есть ли вообще доступный способ вычислить корни для конкретного уравнения? - Есть, и это легко реализуемый алгоритм, и даже не один.
г. Есть ли выражение корней через функции, отличные от элементарных? Есть, и хотя для вычислений они крайне неудобны, но пригодны для исследования поведения корней.

Я, судя по уровню задачи, и тому, что обращаются за помощью на самом начальном этапе, решил, что случай (б) и оттого ответил "нет". Затем перешёл к тому, как решать на практике.

1. Абсолютная величина х равна х или -х в зависимости от знака х. Если мы его заранее не знаем - надо рассматривать оба варианта. Однако после получения решения для варианта, в котором величина под знаком модуля положительна, надо проверить, действительно ли она будет при этом решении положительна. Аналогично и для отрицательной. В приведенной задаче два выражения под знаком абсолютной величины, так что, вообще говоря, вариантов надо рассмотреть 4. Но очевидно, что две пары из них эквивалентны друг другу, так что только два (а вот если к абсолютной величине на одной стороне выражения что-то прибавить...)
2. Выписав эти два варианта и сократив подобные, получим, вообще говоря, уравнения 5-й степени. Но данный пример явно учебный (что укрепляет мою веру в вариант "б"), так что в одном варианте член с пятой степенью сокращается, и остаётся кубическое уравнение (формулу для которого школьнику не дают, но задача учебная, и он сообразит, что один корень, х=1, угадывается, и делением на х-1 получается квадратное уравнение) , а во втором, где уравнение 5-й степени, "нерешаемое" угадывается корень х=0, делением на х уравнение приводится к 4-й степени, притом к биквадратному уравнению, сводимому к квадратному. Выписав все полученные корни (1 и корни квадратного уравнения в первом и 0 и 4 корня биквадратного во втором), проверяем их, подставив в исходное уравнение и выяснив, совпадают ли знаки выражений под модулем в первом и противоположны ли во втором случае. Если нет - это корни от другого уравнения. Если да - пишем их в ответ.

[nnosipov]

Евгений Машеров в сообщении #479462 писал(а):

... проверяем их, подставив в исходное уравнение ...

А зачем? Уравнение $|f(x)|=|g(x)|$ равносильно совокупности двух уравнений $f(x)=g(x)$ или $f(x)=-g(x)$. Мы решаем оба этих уравнения и объединяем найденные множества корней. Никакая проверка здесь не нужна.

[ewert]

Чего-то я не понял, из-за чего столь бурная дискуссия в данной конкретной задаче. При одном варианте выбора знака получается кубическое уравнение с явно угадываемым корнем, чего и достаточно. При другом -- биквадратное уравнение, чего ещё более достаточно. Зачем ещё и какие-то формулы?...

[Евгений Машеров]

ewert

Так ответ был дан сразу же. Потом пошла дискуссия "вообще", безотносительно к задаче.

[gris]

Евгений Машеров, я подумал, что под пунктами 0 и 1 Вы разумеете угаданные корни, поэтому и добавил пунктик 2.
По-моему, для такого уравнения трёх корней вполне достаточно
А если серьёзно, то модуль, а тем паче два, повергают среднего школьника в ужас. Хотя равенство модулей действительно проще решается, чем равенство модуля выражению, где и надо проверять его положительность (могут появиться посторонние корни).

[nnosipov]

gris, вообще говоря, школьников учат, как нужно грамотно переписывать в равносильном виде разные иррациональные уравнения и неравенства типа какого-нибудь $\sqrt{f(x)}>g(x)$. Почему это их пугает, непонятно: правила перевода довольно примитивны, их и запоминать-то не стоит, поскольку всегда можно получить из "разумных соображений".

[gris]

nnosipov, это да. Более того, в некоторых школах требуют тянуть полную запись подобной эквивалентности в виде многоэтажного здания с квадратными и фигурными скобками, сиречь совокупностями и системами. Что не работает именно практически.
Весь вопрос не в том, чтобы продемонстрировать школьнику богатый инструментарий для решения уравнений, а научить его выбирать и использовать оптимальные для каждого случая приёмы.

[Евгений Машеров]

nnosipov


Для линейного, пожалуй, и равносильны. А вообще...
$|x^3|=|x^2|$
Для одного из вариантов получаем
$x^3=-x^2$
Получается корень x=-1
Явно чуждый...
Так что я бы проверил (не говоря уж о возможности банальных ошибок в вычислениях)

-- 01 сен 2011, 13:22 --

gris

Ну, одна из задач школы - научить не "решению уравнений", а аккуратной и методичной работе чиновника...
Плохо или хорошо - это востребовано обществом.

[lim0n]

Евгений Машеров в сообщении #479487 писал(а):

Получается корень x=-1
Явно чуждый...

Чем же он чужд?

[gris]

Евгений Машеров, Вы опять же относите свои рассуждения для случая равенства модуля выражению без модуля. Для двух модулей $|(-1)^3|=|(-1)^2|=1$.
Вот если $|x^3|=x$, тогда да.

[nnosipov]

gris в сообщении #479486 писал(а):

Весь вопрос не в том, чтобы продемонстрировать школьнику богатый инструментарий для решения уравнений, а научить его выбирать и использовать оптимальные для каждого случая приёмы.

Разумеется, так хорошие учителя и должны поступать. Напомню кстати один свой примерчик topic45047.html Как кажется, здесь будет очень трудно избежать применения "равносильных" технологий. Конечно, школьников мучить этим примером я бы не стал, а вот учителям порекомендовал бы на нём потренироваться (Вам, gris, известному любителю картинок, возможно было бы интересно нарисовать ответ ).