Собственные вектора единичной матрицы

[ИСН]

Andrei94 в сообщении #515572 писал(а):

Допустим у нас есть единичная матрица.
$A=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\ \end{pmatrix}$

-- Чт, 2011-12-15, 01:26 --

ВНЕЗАПНО

[Andrei94]

Действительно, точно, об этом же и было написано до этого.

Спасибо!

Правильно ли я понимаю, что только квадратные матрицы имеют собственные числа и вектора?

[svv]

Andrei94 писал(а):

Правильно ли я понимаю, что только квадратные матрицы имеют собственные числа и вектора?

Может, есть какие-то обобщенные смыслы, мало ли чего можно придумать.

Но в исконном, дедовском смысле -- да, только квадратные. Смотрите, я пишу:
$Ax=\lambda x$
Дано: вектор $x$ имеет $n$ компонент. Сколько строк и сколько столбцов может иметь матрица $A$? Почему?

[Andrei94]

Понятно.

Матрица $A$ может иметь только $n$ строк и $n$ столбцов.

$n$ столбцов, чтобы мы имели право умножать на вектор икс

$n$ строк, чтобы в результате умножения получился вектор (то есть один столбец)

[svv]

Чуть уточню:
$n$ строк, чтобы в результате умножения получилось нечто, имеющее тоже $n$ строк.
А один столбец у результата получается просто из-за того, что матрица умножалась на один столбец.

Общее правило: $(m\times n)(n\times p)=(m \times p)$. У нас второй сомножитель $(n\times 1)$, результат $(n \times 1)$. Отсюда всё получается.

[bot]

(Оффтоп)

svv в сообщении #515629 писал(а):

Но есть разница между людьми, которые употребляют эти термины. Если "собственное значение" -- человеку меньше 40 лет, если "собственное число" -- ему за 40

А я в течение одной лекции могу несколько раз постареть и помолодеть.

[TOTAL]

bot в сообщении #515665 писал(а):

(Оффтоп)

А я в течение одной лекции могу несколько раз постареть и помолодеть.

(Оффтоп)

Важно правильно чередовать молодения и старения
(чтобы не зашкалило ни в ту ни в другую сторону)

[ewert]

(Оффтоп)

bot в сообщении #515665 писал(а):

А я в течение одной лекции могу несколько раз постареть и помолодеть.

Аналогично.

Кроме того: вряд ли когда-нибудь "значение" вытеснит "число" -- просто потому, что первый вариант хуже выговаривовывается. Но он и не отомрёт, поскольку встречаются словосочетания, в которых "число" выглядит стилистически не очень уместно.

-- Чт дек 15, 2011 09:44:23 --

Andrei94 в сообщении #515626 писал(а):

Пока что не очень понял -- как определяется геометрическая кратность.

Технически определяется так. Каждый собственный вектор -- это некое ненулевое решение системы линейных уравнений $(A-\lambda I)\vec x=\vec0$. Соответственно, геометрическая кратность -- это количество независимых решений такой системы, а выделение таких независимых решений -- это стандартная линейноалгебраическая задача.

Конкретно в вашем примере матрица $(A-\lambda I)$ оказывается нулевой, т.е. система уравнений вырождается в два тождества: $\vec0=\vec0,\ \vec0=\vec0$. Такой системе удовлетворяет вообще любой вектор и, соответственно, любой ненулевой вектор оказывается собственным.