Собственные вектора единичной матрицы

[Andrei94]

Допустим у нас есть единичная матрица.

$A=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\ \end{pmatrix}$

Собственные числа $\lambda_1=\lambda_2=1$

При поиске собственных векторов, оказывается, что у нас умножается матрица из нулей на собственный вектор и в итоге получается нулевой столбец, тогда ведь собственный вектор может быть любым....

Как это можно описать и объяснить на математическом языке?

[Joker_vD]

Andrei94 в сообщении #515572 писал(а):

Как это можно описать и объяснить на математическом языке?

Пардон, а вы что сейчас только что проделали?

[arseniiv]

А ещё можно просто рассмотреть определение. Какой вектор удовлетворяет $A\vec v = 1\vec v$? И… Озарение! О боги, любой!

[Andrei94]

Окей, хорошо! Понятно! Спасибо.

Кстати, а как влияет кратность собственных значений на собственные вектора?

Есть ли различие между собственными значениями и собственными числами?

[ewert]

Andrei94 в сообщении #515572 писал(а):

тогда ведь собственный вектор может быть любым....

Ну может. Ну и что?... Вы в курсе, что собственные векторы определёны как минимум неоднозначно?...

-- Чт дек 15, 2011 00:05:37 --

Andrei94 в сообщении #515589 писал(а):

Есть ли различие между собственными значениями и собственными числами?

Нет.

Andrei94 в сообщении #515589 писал(а):

как влияет кратность собственных значений на собственные вектора?

Кратность непосредственно влияет на размерность собственного подпространства, т.е. на количество линейно независимых собственных векторов, но тут есть нюансы: смотря что понимать под кратностью.

[svv]

Andrei94, как я понял, Вы интересуетесь терминологией, которая описывает эту ситуацию. Она такова.

Начнем с характеристического многочлена $(\lambda-1)^2=0$. Он имеет кратный корень $\lambda=1$. Кратность этого корня равна $2$.

В таком случае про соответствующее собственное число говорят: оно имеет алгебраическую кратность $2$. Алгебраическая кратность собственного числа -- это по определению кратность соответствующего корня характеристического многочлена.

Понятно, что собственные векторы, соответствующие данному собственному числу, образуют пространство. Оно называется собственным подпространством данного собственного числа. А размерность этого подпространства называется геометрической кратностью собственного числа. В данном случае она тоже равна $2$.

В нашем собственном подпространстве можно выбрать базис, например:
$a_1=\begin{pmatrix}1\\0 \end{pmatrix}, \; a_2=\begin{pmatrix}0\\1 \end{pmatrix}$
И тогда любой вектор $c_1 a_1+c_2 a_2$, как несложно показать, тоже будет собственным, но в нашем случае это означает -- любой вектор.

Бывают и такие случаи, что геометрическая кратность собственного числа не равна алгебраической кратности, но первая никогда не превосходит вторую.

Конечно, самый обычный случай -- обе кратности равны $1$. Вы привели пример, когда это не так.

[ewert]

(Оффтоп)

svv в сообщении #515605 писал(а):

собственные векторы, соответствующие данному собственному числу, образуют пространство.

Ну если уж быть точным...

[svv]

Сформулируйте точнее, я буду только рад.

[Andrei94]

ewert в сообщении #515596 писал(а):

Ну и что?... Вы в курсе, что собственные векторы определёны как минимум неоднозначно?...

Да, с точностью до домножения на константу

ewert в сообщении #515596 писал(а):

Кратность непосредственно влияет на размерность собственного подпространства, т.е. на количество линейно независимых собственных векторов, но тут есть нюансы: смотря что понимать под кратностью.

То есть если у нас есть матрица 5x5

Характеристический многочлен имеет 2 корня

Кратность 1-го корня -- 1

$dim L_1 =1$


Крастность 2-го корня -- 4

$dim L_2=4$

А данная матрица 5х5 имеет всего лишь 2 собственных вектора?

[svv]

Я понял: нулевой вектор не считается собственным, а без него не получится пространства.
ewert, это фигня.

[Andrei94]

Спасибо! Только одно я не очень понял -- как может геометрическая кратность отличаться от алгебраической -- не всегда ли они равны?

[ИСН]

Ну взять тупо что-то вроде $A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\\ \end{pmatrix}$...

[Andrei94]

ИСН в сообщении #515621 писал(а):

Ну взять тупо что-то вроде $A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\\ \end{pmatrix}$...

Проверю сейчас!

Характеристический многочлен:

$(1-\lambda)^2=0$

$\lambda_{1,2}=1$ - алгебраическая кратность 2. Геометрическая 2 или 1?

Пока что не очень понял -- как определяется геометрическая кратность.

[svv]

ewert писал(а):

Andrei94 писал(а):

Есть ли различие между собственными значениями и собственными числами?

Нет.

Но есть разница между людьми, которые употребляют эти термины. Если "собственное значение" -- человеку меньше 40 лет, если "собственное число" -- ему за 40.

Andrei94 писал(а):

Пока что не очень понял -- как определяется геометрическая кратность.

Это сколько линейно независимых собственных векторов найдётся для собственного числа.

[Andrei94]

svv в сообщении #515629 писал(а):

Andrei94 писал(а):

Пока что не очень понял -- как определяется геометрическая кратность.

Это сколько линейно независимых собственных векторов найдётся для собственного числа.

Спасибо, понятно, тогда в том примере геом. кратность равна 1.

А как она может быть больше 1? Разве может 2 и более линейно независимых вектора соответствовать 1 собственному значению?