Отношения эквивалентности

[Spandei]

$\lambda=1-\omega$
где
$\omega$ - корень $\omega^{2}+\omega+1=0$
Показать:$(\omega\lambda)^{2}=-3$
И на основе этого:
Если $\alpha \equiv 1 (mod \lambda)$
то $\alpha^{3} \equiv 1 (mod 9)$

Что сделано: высчитал омегу и лямбду, показал, что их квадрат их произведения действительно равен -3.
Со второй частью задания - засада, не знаю, с чего подступиться, единственное, что заметил - что 9 - квадрат -3, но как сюда прилепить соотношение, которое мы высчитали до этого...

[svv]

Не знаю, как Вам помочь со второй частью, хочу только заметить на всякий случай, что для вычисления $(\omega\lambda)^2$ не обязательно решать квадратное уравнение:

$$\omega^2 (1-\omega)^2 = -(1+\omega)(1-\omega)^2 = -(1-\omega^2)(1-\omega)=-(2+\omega)(1-\omega)=-(-\omega^2-\omega+2)=-3$$

[nnosipov]

Видимо, $\alpha$ здесь целое число, и речь идёт об отношении делимости в кольце $\mathbb{Z}[\omega]$. Тогда действительно из сравнения $\alpha \equiv 1 \pmod{\lambda}$ следует сравнение $\alpha^3 \equiv 1 \pmod{9}$. Для доказательства достаточно записать $\alpha^3-1=(\alpha-1)(\alpha^2+\alpha+1)$ и заметить, что оба сомножителя делятся на $3$ (нужно, конечно, ещё объяснить, почему).

P.S. На самом деле сравнение $\alpha^3 \equiv 1 \pmod{9}$ вытекает из сравнения $\alpha \equiv 1 \pmod{\lambda}$ при любом $\alpha \in \mathbb{Z}[\omega]$.

[VAL]

Spandei, кто Вас надоумил так озаглавить тему?

PS: Я в курсе, отношение сравнимости по модулю (кстати, действительно не ясно в каком кольце Вы работаете; если в поле, то ничего содержательного не получится) есть частный случай эквивалентности. Но с тем же успехом можно было назвать "отношение эквивалентности" любую тему. Например, ту, где требуется решить уравнение. Ведь равносильность уравнений (да и просто отношение равенства) тоже эквивалентность.

[nnosipov]

VAL, наверное, он имеет в виду такое отношение эквивалентности: два элемента целостного кольца эквивалентны, если один из них получается умножением другого на единицу этого кольца. В этом смысле $3 \sim \lambda^2$ в $\mathbb{Z}[\omega]$.

[VAL]

nnosipov в сообщении #512855 писал(а):

VAL, наверное, он имеет в виду такое отношение эквивалентности: два элемента целостного кольца эквивалентны, если один из них получается умножением другого на единицу этого кольца. В этом смысле $3 \sim \lambda^2$ в $\mathbb{Z}[\omega]$.

Я так и подумал.
Но продолжаю считать, что название темы, скорее, дезинформативно, чем наоборот. Особенно с учетом того, что $\mathbb{Z}[\omega]$ в письме ТС не упоминается.

[nnosipov]

VAL в сообщении #512949 писал(а):

Но продолжаю считать, что название темы, скорее, дезинформативно, чем наоборот.

Конечно, можно было всё по-человечески оформить. Это мы тут корячимся, стараясь поточнее и попонятнее выразиться ... Ладно, посмотрим, что напишет.

[Spandei]

Написал условие как было продиктовано преподавателем, только забыл, что альфа целое - это да, извиняюсь
Спасибо за помощь.
Я решал так (очень криво, и такое ощущение, что с логической ошибкой)
$\alpha-1=\lambda k$
$\lambda k$ - целое
Сл-но,$k=(\omega)^{2} \lambda t$ (вот тут ошибка, наверное)
Сл-но, $\alpha-1$ делится на 3
Затем докажем, что $\alpha^{2}+\alpha+1 \equiv \alpha-1 (mod 3)$
Это равносильно $\alpha^{2} \equiv -2 \equiv 1 (mod 3)$, а это верно, т.к. $\alpha \equiv 1 (mod 3)$

Собственно, как показать, что k может быть только таким?

[nnosipov]

Spandei в сообщении #515358 писал(а):

Сл-но,$k=(\omega)^{2} \lambda t$

Что такое $t$? Каким образом это следует из равенства $\alpha-1=\lambda k$?

[Spandei]

nnosipov в сообщении #515359 писал(а):

Spandei в сообщении #515358 писал(а):

Сл-но,$k=(\omega)^{2} \lambda t$

Что такое $t$? Каким образом это следует из равенства $\alpha-1=\lambda k$?

t - целое
рассмотрим уравнение $\omega^{2}+\omega+1=0$
$\omega=\frac{-1+-\sqrt{3}i}{2}$
$\lambda=\frac{3-+\sqrt{3}i}{2}$
Далее, чтобы$\lambda k$ было целым, k должно быть вида $2(3+-\sqrt{3} i)t$ (t - целое) (содержать комплексно сопряженное к $\lambda$)
Если посчитаем $(\omega)^{2} \lambda=-\frac{3+-\sqrt{3}}{2}$, получаем, что k кратно $(\omega)^{2} \lambda$
если есть более рациональный способ с удовольствием выслушаю

[nnosipov]

Указание. Для произвольного $\alpha \in \mathbb{Z}[\omega]$ определим т.н. норму: $N(\alpha)=\alpha \cdot \overline{\alpha}$. В частности, для $\alpha \in \mathbb{Z}$ имеем $N(\alpha)=\alpha^2$. Кроме того, норма обладает мультипликативным свойством: $N(\alpha\beta)=N(\alpha)N(\beta)$ для любых $\alpha,\beta \in \mathbb{Z}[\omega]$. Отсюда следует, что если $\alpha$ делится на $\beta$ в кольце $\mathbb{Z}[\omega]$, то $N(\alpha)$ делится на $N(\beta)$ в кольце $\mathbb{Z}$.

[Spandei]

nnosipov в сообщении #515646 писал(а):

Указание. Для произвольного $\alpha \in \mathbb{Z}[\omega]$ определим т.н. норму: $N(\alpha)=\alpha \cdot \overline{\alpha}$. В частности, для $\alpha \in \mathbb{Z}$ имеем $N(\alpha)=\alpha^2$. Кроме того, норма обладает мультипликативным свойством: $N(\alpha\beta)=N(\alpha)N(\beta)$ для любых $\alpha,\beta \in \mathbb{Z}[\omega]$. Отсюда следует, что если $\alpha$ делится на $\beta$ в кольце $\mathbb{Z}[\omega]$, то $N(\alpha)$ делится на $N(\beta)$ в кольце $\mathbb{Z}$.

то есть применительно к нашему случаю:
$\alpha-1$ делится на $\lambda$ в $\mathbb{Z}[\omega]$
Тогда $(\alpha-1)^{2}$ делится на $\lambda \overline{\lambda}$
И тогда вопрос: из того, что $(\lambda \omega)^{2}$ целое следует, что $(\omega)^{2} \lambda$ кратно $\overline{\lambda}$?

[nnosipov]

Spandei в сообщении #515656 писал(а):

то есть применительно к нашему случаю:
$\alpha-1$ делится на $\lambda$ в $\mathbb{Z}[\omega]$
Тогда $(\alpha-1)^{2}$ делится на $\lambda \overline{\lambda}$

А $\lambda \overline{\lambda}=3$ --- простое число.

[Spandei]

nnosipov в сообщении #515658 писал(а):

Spandei в сообщении #515656 писал(а):

то есть применительно к нашему случаю:
$\alpha-1$ делится на $\lambda$ в $\mathbb{Z}[\omega]$
Тогда $(\alpha-1)^{2}$ делится на $\lambda \overline{\lambda}$

А $\lambda \overline{\lambda}=3$ --- простое число.

А, всё, понял!
Сначала вычисляем $\lambda \overline{\lambda}=3$
Потом показываем, что $(\alpha-1)^{2}$ делится на $\lambda \overline{\lambda}$
А из этого следует, что и $(\alpha-1)$ делится на $\lambda \overline{\lambda}=3$
спасибо большое!