Задачка - Студ олимпиада

[Хет Зиф]

Два космических аппарата в начальный момент времени находяться на растоянии $l$ друг от друга.Вектор скорости первого аппарата направлен всегда на второй аппарат. Вектор скорости второго всегда перпендикулярен линии, соединяющей оба аппарата.Определить путь и перемещение каждого аппарата до точки встречи, если скорость первого вдвое больше, чем второго.! Предлагайте решения, я нашел по крайней мере 2!

[al bundy]

Ну здрасте
Их и есть два, эта задача то ли с Московской олимпиады 2004, то ли со всероссийской олимпиады но тоже 2004, для инженерных ВУЗов (это значит что серьезных ВУЗов там не было, если кто не в курсе )
потом разбирали подробно, два решения там только и есть

[e2e4]

Напоминает разбиравшуюся на этом форуме задачу "о трех собаках".

[Хет Зиф]

e2e4
Напомните пожалуйста условие той задачи?

[e2e4]

Что-то поискал, не нашел на этом форуме этой задачи, хотя вроде здесь была...
Условие следующее: в вершине равнобердренного тр-ка сидят 3 собаки. Одновременно первая собака погналась за второй, вторая за третьей, третья - за первой. Необходимо описать траектории движения собак, найти пройденный путь, время до встречи и т.п.

Ваша задача отличается от рассмотренной только тем, что, в терминах собак, вторая собака не гонится за третьей, а движется перпендикулярно линии, соединяющей первую и вторую собаку. Думаю, что траекторией будет какая-нибудь циклоида.

[Хет Зиф]

e2e4
Ну собаки -- это мега боян! понятно что все встертятся в центре треугольника, равностороннего.! Есть задача где 4 собаки или там зайцы , вообщем это не важно.И они находятся в вершинах квадрата!тоже догоняют друг друга, и если расмотреть только двух собах, то мы получим нашу задачу, только у собак одинаковые скорости. А здесь разные, ну эту задачу тоже можно решить оригинально
А тут траектория вроде не циклоида!

[Nikita]

из условия перпендикулярности скоростей получается система:
U1x=U1*cos(a); U1y=U1*sin(a); U2x=U2*sin(90-a); U2y=U2*cos(90-a);
отсюда ограничения на проекции скоростей:
\dfrac{U1y}{U1x}=\dfrac{U2y}{U2x}
Не пойму пока, как найти уравнения траекторий.

[Хет Зиф]

NikitaВы сначала найдите уравнения движения

[Nikita]

сначала нужно заметить,что корабли движутся по дугам кругов
\tan \left( fi \right) ={\frac {{\it V2}\,{\it dt}}{l-{\it V1}\,{\it dt }} fi - меняется одинаково за равные промежутки времени, значит траектория - дуга окружности. Для обоих кораблей.
нужно найти радиусы этих окружностей:
{\it k1}={\it lim} \left( \arctan \left( 2\,{\frac {{\it V2}\,t}{l-{ \it V1}\,t}} \right) {{\it V1}}^{-1}{t}^{-1} \right) при t->0 k1=2*V2/(l*V1)=1/l
тогда R1=l - радиус окружности, по которой движется первый корабль, равна l
{\it k2}={\it lim} \left( \arctan \left( 2\,{\frac {{\it V2}\,t}{l-{ \it V1}\,t}} \right) {{\it V2}}^{-1}{t}^{-1} \right) при t->0 k2=2/l R2=l/2

точка пересечения окружностей - точка встречи кораблей
Можно записать уравнения траекторий
для первого корабля
y=-\sqrt {{{\it R1}}^{2}-{x}^{2}}+{\it R1}
для второго
y=\sqrt {2\,{\it R2}\,x-{x}^{2}}
решением этой системы будет точка пересечения кораблей
x=2\,{\frac {{\it R2}\,{{\it R1}}^{2}}{{{\it R1}}^{2}+{{\it R2}}^{2}}}
y=-\sqrt {{{\it R1}}^{2}-4\,{\frac {{{\it R2}}^{2}{{\it R1}}^{4}}{ \left( {{\it R1}}^{2}+{{\it R2}}^{2} \right) ^{2}}}}+{\it R1}
после подстановки R1,2
x=(4/5)l
y=0.4*l
отсюда перемещения:
r1=sqrt(((4/5)*l)^2+(0.4*l)^2)=0.9*l
r2=sqrt(((4/5)*l-l)^2+(0.4*l)^2)=0.44*l
пути находятся как длины дуг
S2=0.23*l
S1=0.92*l

к Хет Зиф: совпадает ли ответ с вашими? Если да, выкладывайте.

[Хет Зиф]

Nikita
Вы что! не загоняйтесь так ! Пути находятся устно $S_{1}=l$
, а $S_{2}=\frac{l}{2}$. Также движение не по дугам окружности происходит! На севодняшнее время я знаю 3 способа решения этой задачи. Одно из них в лоб как предложили вы, но вы решили не правильно. Если вам интересно могу рассказать один из способов

[Nikita]

Хет Зиф писал(а):

Если вам интересно могу рассказать один из способов Wink

Пожалуйста, очень интересно.

[Хет Зиф]

Nikita
рассказываю один из способов: Если выбрать изначально оси: $xOy$, так что например $x$ вдоль линии соединяющей корабли, а $y$ перпендикулярно, тогда. Проекция скорости 1 ого корабля на ось $x$, всегда в 2 раза больше проекции 2-ого корабля на ось $y$. И также только для 2 ого ось $y$, а для 1 ого ось $x$. То есть и зз геометрических соображений перемещения есть $\Delta r_{1}=\frac{2l}{\sqrt{5}}$, а $\Delta r_{2}=\frac{l}{\sqrt{5}}$.

[Nikita]

Хет Зиф
Спасибо. Действительно, движутся не по окружностям. Угловая скорость меняется тем быстрее, чем корабли ближе.

Удивительно, но в моем варианте решения(неправильном) точка встречи найдена правильно. тк перемещения совпадают. Не совсем понятно почему.