2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Задачка - Студ олимпиада
Сообщение02.02.2007, 01:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/05/06
668
куда, зачем, почему?
Два космических аппарата в начальный момент времени находяться на растоянии $l$ друг от друга.Вектор скорости первого аппарата направлен всегда на второй аппарат. Вектор скорости второго всегда перпендикулярен линии, соединяющей оба аппарата.Определить путь и перемещение каждого аппарата до точки встречи, если скорость первого вдвое больше, чем второго.! Предлагайте решения, я нашел по крайней мере 2! :wink:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение03.02.2007, 19:32 


13/11/06
17
Ну здрасте :)
Их и есть два, эта задача то ли с Московской олимпиады 2004, то ли со всероссийской олимпиады но тоже 2004, для инженерных ВУЗов (это значит что серьезных ВУЗов там не было, если кто не в курсе :))
потом разбирали подробно, два решения там только и есть

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение03.02.2007, 23:12 


21/03/06
1545
Москва
Напоминает разбиравшуюся на этом форуме задачу "о трех собаках".

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение04.02.2007, 14:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/05/06
668
куда, зачем, почему?
e2e4
Напомните пожалуйста условие той задачи? :wink:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение04.02.2007, 15:44 


21/03/06
1545
Москва
Что-то поискал, не нашел на этом форуме этой задачи, хотя вроде здесь была...
Условие следующее: в вершине равнобердренного тр-ка сидят 3 собаки. Одновременно первая собака погналась за второй, вторая за третьей, третья - за первой. Необходимо описать траектории движения собак, найти пройденный путь, время до встречи и т.п.

Ваша задача отличается от рассмотренной только тем, что, в терминах собак, вторая собака не гонится за третьей, а движется перпендикулярно линии, соединяющей первую и вторую собаку. Думаю, что траекторией будет какая-нибудь циклоида.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение04.02.2007, 16:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/05/06
668
куда, зачем, почему?
e2e4
Ну собаки -- это мега боян! понятно что все встертятся в центре треугольника, равностороннего.! Есть задача где 4 собаки или там зайцы , вообщем это не важно.И они находятся в вершинах квадрата!тоже догоняют друг друга, и если расмотреть только двух собах, то мы получим нашу задачу, только у собак одинаковые скорости. А здесь разные, ну эту задачу тоже можно решить оригинально :wink:
А тут траектория вроде не циклоида!

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.02.2007, 09:45 


28/11/06
103
Саратов
из условия перпендикулярности скоростей получается система:
U1x=U1*cos(a); U1y=U1*sin(a); 
U2x=U2*sin(90-a); U2y=U2*cos(90-a);
отсюда ограничения на проекции скоростей:
\dfrac{U1y}{U1x}=\dfrac{U2y}{U2x}
Не пойму пока, как найти уравнения траекторий.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.02.2007, 10:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/05/06
668
куда, зачем, почему?
NikitaВы сначала найдите уравнения движения :wink:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.02.2007, 22:15 


28/11/06
103
Саратов
сначала нужно заметить,что корабли движутся по дугам кругов
\tan \left( fi \right) ={\frac {{\it V2}\,{\it dt}}{l-{\it V1}\,{\it dt
}} fi - меняется одинаково за равные промежутки времени, значит траектория - дуга окружности. Для обоих кораблей.
нужно найти радиусы этих окружностей:
{\it k1}={\it lim} \left( \arctan \left( 2\,{\frac {{\it V2}\,t}{l-{
\it V1}\,t}} \right) {{\it V1}}^{-1}{t}^{-1} \right) при t->0 k1=2*V2/(l*V1)=1/l
тогда R1=l - радиус окружности, по которой движется первый корабль, равна l
{\it k2}={\it lim} \left( \arctan \left( 2\,{\frac {{\it V2}\,t}{l-{
\it V1}\,t}} \right) {{\it V2}}^{-1}{t}^{-1} \right) при t->0 k2=2/l R2=l/2

точка пересечения окружностей - точка встречи кораблей
Можно записать уравнения траекторий
для первого корабля
y=-\sqrt {{{\it R1}}^{2}-{x}^{2}}+{\it R1}
для второго
y=\sqrt {2\,{\it R2}\,x-{x}^{2}}
решением этой системы будет точка пересечения кораблей
x=2\,{\frac {{\it R2}\,{{\it R1}}^{2}}{{{\it R1}}^{2}+{{\it R2}}^{2}}}
y=-\sqrt {{{\it R1}}^{2}-4\,{\frac {{{\it R2}}^{2}{{\it R1}}^{4}}{
 \left( {{\it R1}}^{2}+{{\it R2}}^{2} \right) ^{2}}}}+{\it R1}
после подстановки R1,2
x=(4/5)l
y=0.4*l
отсюда перемещения:
r1=sqrt(((4/5)*l)^2+(0.4*l)^2)=0.9*l
r2=sqrt(((4/5)*l-l)^2+(0.4*l)^2)=0.44*l
пути находятся как длины дуг
S2=0.23*l
S1=0.92*l

к Хет Зиф: совпадает ли ответ с вашими? Если да, выкладывайте.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.02.2007, 23:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/05/06
668
куда, зачем, почему?
Nikita
Вы что! не загоняйтесь так ! Пути находятся устно $S_{1}=l$
, а $S_{2}=\frac{l}{2}$. Также движение не по дугам окружности происходит! На севодняшнее время я знаю 3 способа решения этой задачи. Одно из них в лоб как предложили вы, но вы решили не правильно. Если вам интересно могу рассказать один из способов :wink:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение16.02.2007, 08:34 


28/11/06
103
Саратов
Хет Зиф писал(а):
Если вам интересно могу рассказать один из способов Wink

Пожалуйста, очень интересно.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение16.02.2007, 10:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/05/06
668
куда, зачем, почему?
Nikita
рассказываю один из способов: Если выбрать изначально оси: $xOy$, так что например $x$ вдоль линии соединяющей корабли, а $y$ перпендикулярно, тогда. Проекция скорости 1 ого корабля на ось $x$, всегда в 2 раза больше проекции 2-ого корабля на ось $y$. И также только для 2 ого ось $y$, а для 1 ого ось $x$. То есть и зз геометрических соображений перемещения есть $\Delta r_{1}=\frac{2l}{\sqrt{5}}$, а $\Delta r_{2}=\frac{l}{\sqrt{5}}$. :wink:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.02.2007, 08:46 


28/11/06
103
Саратов
Хет Зиф
Спасибо. Действительно, движутся не по окружностям. Угловая скорость меняется тем быстрее, чем корабли ближе.

Удивительно, но в моем варианте решения(неправильном) точка встречи найдена правильно. тк перемещения совпадают. Не совсем понятно почему.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: whiterussian, Jnrty, profrotter, Парджеттер, Eule_A, Pphantom, photon, Aer, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group