Pólya's Random Walk Constants

[e7e5]

Let be the probability that a random walk on a d-D lattice returns to the origin. In 1921, Pólya proved that $p(1)=p(2)=1$
but $p(d)<1$ for $d>2$.
http://mathworld.wolfram.com/PolyasRand ... tants.html

Интересует, что можно сказать о вероятности для $d \to \infty$?
Есть ли общая формула (хотя бы некое приближение) для больших $d$, которая в пределе дает результат для бесконечности?

[Хорхе]

По Лапласу (вместо $d$ пишу $n$, чтобы не было путаницы с $ds$):

$$u(n) = n\int_0^\infty I_0(s)^n e^{-n s} ds \sim C\sqrt{n}M^n, $$

$M = \max_{s\ge 0} I_0(s) e^{-s}$, $C$ -- константа, которую лень писать.

-- Пн дек 12, 2011 21:30:36 --

Фигня, потому что там максимум при $s=0$.

[Circiter]

Интуиция настаивает на стремлении искомой вероятности к нулю; удивительно, если на самом деле это не так...

[Хорхе]

Вероятность-то к нулю стремится, это легко показать. А вот насколько быстро...

[e7e5]

Хорхе в сообщении #515123 писал(а):

Вероятность-то к нулю стремится, это легко показать. А вот насколько быстро...

Насколько быстро- это особенно интересно, в этом вопрос.
Запостил вопрос еще здесь, появились комментарии:
http://mathoverflow.net/questions/83317 ... t-infinity
Xopxe, вы можете подробнее для меня результат пояснить по-русски, насколько можно подробнее?
Меня интересует интерпретация результатов с точки зрения случайных блужданий.

[Хорхе]

А какое именно место непонятно? Там в конце как раз вроде очень хорошо и просто написано.

[e7e5]

Эта тема возникла "не с потолка", но при изучении некоторых физических процессов. Как видно, есть некоторое сходство с A043546: Coefficients of asymptotic expansion of return probability for random walk in d-dimensional cubic lattice as a function of d.

Собственно, как можно интерпретировать полученный результат по аналогии с последовательность OEIS? Последний абзац Noam D Elkies?

[Хорхе]

Не понял вопроса. В OEIS не просто некоторое сходство, а именно те коэффициенты, что Вам нужны.

Какой именно результат Вы хотите проинтерпретировать?

[e7e5]

"its coefficients, quite similar to Flajolet's Maple code reproduced in the OEIS entry:"
Quite similar, очень похож, тогда в чем разница?
И непонятно, почему при $d \to \infty$ получается probability for random walk in d-dimensional cubic lattice as a function of d.?

[Хорхе]

Нет, это код "весьма похож". А коэфициенты вполне те самые.

И второе Вы поняли неправильно. Перевожу:

Цитата:

Coefficients of asymptotic expansion of return probability for random walk in d-dimensional cubic lattice as a function of d.

Коэффициенты асимптотического разложения вероятности возвращения (как функции $d$) случайного блуждания по $d$-мерной кубической решетке.

[e7e5]

Хорхе в сообщении #515277 писал(а):

Коэффициенты асимптотического разложения вероятности возвращения (как функции $d$) случайного блуждания по $d$-мерной кубической решетке.

Почему именно кубической? d-D lattice и есть кубическая решетка?

Что будет, если рассмотреть какую-нибудь иную решетку, но для случая $d \to \infty$?

[Хорхе]

дэ-Дэ (d-D) это как двадэ, тридэ и тэдэ

$d$-мерная, короче. Кубическая по умолчанию. Для других (а это какие?) будут, понятно, другие коэффициенты.

[e7e5]

Спасибо, ясно.

Ну, например, root lattices $A_d$ или $D_d$?
Есть такой коммент:
"if it's the root lattices $A_d$ or $D_d$
then I think you'll get "the same approximation" in the sense that
there will be an asymptotic expansion in inverse powers of d whose
leading term will come from walks that return in only 2 steps, i.e.
probability $1/N + O(1/(d*N)$ where $N$ is the number of neighbors
(a.k.a. degree) of each vertex on the graph."